Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x)=3x(x^2-12).

Nilai maksimumnya adalah 48.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x^2 - 12), kita perlu menggunakan kalkulus, yaitu mencari turunan pertama fungsi tersebut, menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik kritis, lalu menguji titik-titik tersebut.

1.  **Jabarkan fungsi:**
    f(x) = 3x^3 - 36x

2.  **Cari turunan pertama (f'(x)):**
    f'(x) = d/dx (3x^3 - 36x)
    f'(x) = 9x^2 - 36

3.  **Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik kritis:**
    9x^2 - 36 = 0
    9x^2 = 36
    x^2 = 4
    x = ±2
    Jadi, titik kritisnya adalah x = 2 dan x = -2.

4.  **Uji nilai fungsi pada titik-titik kritis:**
    Untuk x = 2:
    f(2) = 3(2)^3 - 36(2) = 3(8) - 72 = 24 - 72 = -48

    Untuk x = -2:
    f(-2) = 3(-2)^3 - 36(-2) = 3(-8) + 72 = -24 + 72 = 48

5.  **Tentukan nilai maksimum:**
    Membandingkan kedua nilai, nilai maksimum adalah 48 yang terjadi ketika x = -2.

Untuk memastikan apakah ini nilai maksimum atau minimum, kita bisa menggunakan turunan kedua:
    f''(x) = d/dx (9x^2 - 36) = 18x

    Untuk x = 2, f''(2) = 18(2) = 36 (positif, menunjukkan nilai minimum)
    Untuk x = -2, f''(-2) = 18(-2) = -36 (negatif, menunjukkan nilai maksimum)

Jadi, nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x^2 - 12) adalah 48.