Tentukan nilai maksimum f(x, y)=2x+3y himpunan penyelesaian

Nilai maksimumnya adalah 16.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari f(x, y) = 2x + 3y pada sistem pertidaksamaan linear yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. Sistem pertidaksamaannya adalah:
1. 3x + y ≤ 24
2. x + 2y ≤ 8
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Langkah-langkahnya adalah:
1. Tentukan titik potong dari setiap garis.
   - Garis 1 (3x + y = 24):
     - Jika x = 0, maka y = 24. Titik (0, 24).
     - Jika y = 0, maka 3x = 24 => x = 8. Titik (8, 0).
   - Garis 2 (x + 2y = 8):
     - Jika x = 0, maka 2y = 8 => y = 4. Titik (0, 4).
     - Jika y = 0, maka x = 8. Titik (8, 0).

2. Cari titik potong antara Garis 1 dan Garis 2.
   Dari Garis 2, x = 8 - 2y.
   Substitusikan ke Garis 1:
   3(8 - 2y) + y = 24
   24 - 6y + y = 24
   -5y = 0
   y = 0
   Jika y = 0, maka x = 8 - 2(0) = 8. Titik (8, 0).
   *(Ternyata titik potong kedua garis adalah (8,0), yang sudah kita temukan sebelumnya).* 
   Mari kita periksa kembali titik potongnya. Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan atau pemahaman soal, karena kedua garis memotong sumbu x di titik yang sama. Mari kita cari titik potong antara 3x + y = 24 dan x + 2y = 8.
   Kalikan persamaan kedua dengan 3:
   3(x + 2y) = 3(8)
   3x + 6y = 24
   Kurangkan persamaan pertama (3x + y = 24) dari persamaan ini:
   (3x + 6y) - (3x + y) = 24 - 24
   5y = 0
   y = 0
   Substitusikan y = 0 ke x + 2y = 8:
   x + 2(0) = 8
   x = 8
   Jadi, titik potongnya adalah (8, 0).

   Sekarang, kita periksa lagi apakah ada titik potong lain yang relevan dengan kendala x>=0 dan y>=0.
   Titik-titik pojok yang mungkin adalah:
   - Titik potong dengan sumbu y dari Garis 2 (karena Garis 1 memotong sumbu y di (0, 24) yang berada di luar daerah yang dibatasi Garis 2):
     Dari x + 2y ≤ 8, jika x = 0, maka y = 4. Titik (0, 4).
   - Titik potong dengan sumbu x dari Garis 1 dan Garis 2:
     Titik (8, 0).
   - Titik potong sumbu x dan y (origin):
     Titik (0, 0).

   Mari kita uji titik-titik pojok ini ke dalam fungsi f(x, y) = 2x + 3y:
   - Titik (0, 0): f(0, 0) = 2(0) + 3(0) = 0
   - Titik (0, 4): f(0, 4) = 2(0) + 3(4) = 12
   - Titik (8, 0): f(8, 0) = 2(8) + 3(0) = 16

   Nilai maksimum dari f(x, y) adalah 16, yang dicapai pada titik (8, 0).