Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=2x^2+x+1

Persamaan garis singgungnya adalah y = 5x - 1.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva yang tegak lurus dengan garis lain.

Langkah-langkah penyelesaian:
1.  **Tentukan gradien garis yang diketahui:**
    Garis yang diketahui adalah x + 5y - 4 = 0.
    Untuk mencari gradiennya, kita ubah persamaan ke bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien.
    5y = -x + 4
    y = (-1/5)x + 4/5
    Jadi, gradien garis ini (m1) adalah -1/5.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
    Garis singgung tegak lurus dengan garis x + 5y - 4 = 0. Dua garis dikatakan tegak lurus jika hasil kali gradiennya adalah -1 (m1 * m2 = -1).
    (-1/5) * m2 = -1
    m2 = -1 / (-1/5)
    m2 = 5
    Jadi, gradien garis singgung (m_singgung) adalah 5.

3.  **Cari turunan pertama dari kurva y = 2x^2 + x + 1:**
    Turunan pertama (y') memberikan gradien garis singgung pada setiap titik di kurva.
    y' = d/dx (2x^2 + x + 1)
    y' = 4x + 1

4.  **Samakan turunan dengan gradien garis singgung untuk mencari nilai x:**
    Gradien garis singgung pada kurva adalah 4x + 1. Kita sudah mengetahui bahwa gradien garis singgung yang dicari adalah 5.
    4x + 1 = 5
    4x = 5 - 1
    4x = 4
    x = 1

5.  **Cari nilai y pada kurva dengan menggunakan nilai x yang ditemukan:**
    Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan kurva y = 2x^2 + x + 1.
    y = 2(1)^2 + (1) + 1
    y = 2(1) + 1 + 1
    y = 2 + 1 + 1
    y = 4
    Jadi, titik singgungnya adalah (1, 4).

6.  **Tentukan persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1):**
    Dengan titik (x1, y1) = (1, 4) dan gradien (m) = 5.
    y - 4 = 5(x - 1)
    y - 4 = 5x - 5
    y = 5x - 5 + 4
    y = 5x - 1

    Atau dalam bentuk umum Ax + By + C = 0:
    5x - y - 1 = 0

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva y=2x^2+x+1 yang tegak lurus dengan garis x+5y-4=0 adalah y = 5x - 1 atau 5x - y - 1 = 0.