Tentukan persamaan garis singgung yang mempunyaigradien 3/4

y = 3/4x + 31/2 dan y = 3/4x + 1/2

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran \((x+4)^2 + (y-5)^2 = 36\) yang memiliki gradien 3/4, kita gunakan rumus umum persamaan garis singgung lingkaran \(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\) atau \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

Lingkaran yang diberikan adalah \((x+4)^2 + (y-5)^2 = 36\).
Dari persamaan ini, kita dapat mengetahui:
- Pusat lingkaran (a, b) = (-4, 5)
- Jari-jari lingkaran (r) = \(\sqrt{36} = 6\)

Gradien garis singgung yang diberikan (m) = 3/4.

Rumus umum persamaan garis singgung lingkaran \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) dengan gradien m adalah:
\(y - b = m(x - a) \pm r \sqrt{1 + m^2}\)

Substitusikan nilai a, b, r, dan m ke dalam rumus:
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x - (-4)) \pm 6 \sqrt{1 + (\frac{3}{4})^2}\)
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x + 4) \pm 6 \sqrt{1 + \frac{9}{16}}\)
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x + 4) \pm 6 \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}\)
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x + 4) \pm 6 \sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x + 4) \pm 6 \cdot \frac{5}{4}\)
\(y - 5 = \frac{3}{4}(x + 4) \pm \frac{30}{4}\)

Kalikan kedua sisi dengan 4 untuk menghilangkan pecahan:
\(4(y - 5) = 3(x + 4) \pm 30\)
\(4y - 20 = 3x + 12 \pm 30\)

Sekarang kita pisahkan untuk dua kemungkinan tanda (\(+\) dan \(-\)):

Kasus 1 (tanda +):
\(4y - 20 = 3x + 12 + 30\)
\(4y - 20 = 3x + 42\)
\(4y = 3x + 62\)
\(y = \frac{3}{4}x + \frac{62}{4}\)
\(y = \frac{3}{4}x + \frac{31}{2}\)

Kasus 2 (tanda -):
\(4y - 20 = 3x + 12 - 30\)
\(4y - 20 = 3x - 18\)
\(4y = 3x + 2\)
\(y = \frac{3}{4}x + \frac{2}{4}\)
\(y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\)

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang memenuhi yaitu \(y = \frac{3}{4}x + \frac{31}{2}\) dan \(y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\).