Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut. 2,6,12, ...

Rumus suku ke-n adalah $U_n = n^2 + n$.

Pembahasan

Untuk menentukan rumus suku ke-n dari barisan 2, 6, 12, ..., kita perlu mengidentifikasi pola barisan tersebut. Mari kita lihat selisih antara suku-suku yang berurutan:
*   6 - 2 = 4
*   12 - 6 = 6

Selisihnya tidak konstan, jadi ini bukan barisan aritmetika. Mari kita lihat selisih dari selisih tersebut (tingkat kedua):
*   6 - 4 = 2

Karena selisih tingkat kedua konstan (yaitu 2), ini menunjukkan bahwa barisan ini adalah barisan kuadratik, yang dapat dinyatakan dalam bentuk $U_n = an^2 + bn + c$.

Kita bisa menggunakan tiga suku pertama untuk membentuk sistem persamaan:
1.  Untuk n=1: $a(1)^2 + b(1) + c = 2 
ightarrow a + b + c = 2$
2.  Untuk n=2: $a(2)^2 + b(2) + c = 6 
ightarrow 4a + 2b + c = 6$
3.  Untuk n=3: $a(3)^2 + b(3) + c = 12 
ightarrow 9a + 3b + c = 12$

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan tersebut:
Kurangkan persamaan (1) dari (2): $(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 6 - 2 
ightarrow 3a + b = 4$ (Persamaan 4)
Kurangkan persamaan (2) dari (3): $(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 12 - 6 
ightarrow 5a + b = 6$ (Persamaan 5)

Kurangkan persamaan (4) dari (5): $(5a + b) - (3a + b) = 6 - 4 
ightarrow 2a = 2 
ightarrow a = 1$

Substitusikan $a = 1$ ke Persamaan 4: $3(1) + b = 4 
ightarrow 3 + b = 4 
ightarrow b = 1$

Substitusikan $a = 1$ dan $b = 1$ ke Persamaan 1: $1 + 1 + c = 2 
ightarrow 2 + c = 2 
ightarrow c = 0$

Jadi, rumus suku ke-n adalah $U_n = 1n^2 + 1n + 0$, atau $U_n = n^2 + n$.

Kita bisa memeriksanya:
*   $U_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
*   $U_2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$
*   $U_3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$

Rumus tersebut benar.