Tentukan sisa dengan metode Horner-Kino untuk pembagian

6x + 4

Pembahasan

Metode Horner-Kino digunakan untuk pembagian polinomial oleh polinomial berderajat dua atau lebih.
Polinomial yang dibagi: 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5x - 2
Pembagi: x^2 - x - 2
Kita akan menggunakan tabel pembagian Horner.
Koefisien polinomial yang dibagi: 2, -3, 0, 5, -2
Koefisien pembagi (setelah memindahkan suku konstanta ke sisi lain dan mengubah tandanya): 1, 1, 2

Langkah-langkah:
1. Tulis koefisien pembagi di sisi kiri, dengan koefisien suku x^2 di baris pertama dan suku sisanya di baris kedua.
2. Tulis koefisien polinomial yang dibagi di baris atas.
3. Kalikan koefisien pertama dari hasil dengan koefisien pembagi dan letakkan di bawah koefisien berikutnya.
4. Jumlahkan koefisien pada kolom tersebut.
5. Ulangi proses perkalian dan penjumlahan.

```
      | 2   -3    0    5   -2
  1   |     2   -1   -3   -2
  2   |     4    2    6    4
--------------------------
      | 2    1   -3    6    2
```

Penjelasan tabel:
- Baris pertama setelah garis vertikal adalah hasil perkalian koefisien pertama (2) dengan koefisien pembagi (1, 1, 2) yang digeser.
- Baris kedua setelah garis vertikal adalah hasil perkalian koefisien kedua (1) dengan koefisien pembagi (1, 1, 2) yang digeser.
- Baris paling bawah adalah hasil penjumlahan kolom.

Hasil bagi adalah polinomial dengan koefisien 2, 1, -3, 6, yang merupakan (2x^2 + x - 3) dengan sisa 6x + 2.

Namun, metode Horner-Kino yang umum mengacu pada pembagian oleh $(x-a)$. Untuk pembagian dengan $x^2-x-2$, kita perlu sedikit modifikasi atau menggunakan metode pembagian bersusun.

Mari kita gunakan pembagian bersusun untuk verifikasi:
        2x^2 +  x  - 3
      ________________
 x^2-x-2 | 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5x - 2
        -(2x^4 - 2x^3 - 4x^2)
        ________________
              -x^3 + 4x^2 + 5x
            -(-x^3 +  x^2 + 2x)
            ________________
                   3x^2 + 3x - 2
                 -(3x^2 - 3x - 6)
                 ____________
                        6x + 4

Ada kesalahan dalam interpretasi tabel Horner-Kino saya untuk pembagi kuadratik.
Metode Horner yang tepat untuk pembagi $ax^2+bx+c$ melibatkan dua baris koefisien dari pembagi.

Mari kita ulangi dengan benar:
Pembagi: $x^2 - x - 2$. Koefisien: $1, -1, -2$.
Kita akan membagi dengan $(x-2)(x+1)$. Kita bisa menggunakan metode Horner dua kali atau menggunakan tabel yang dimodifikasi.

Metode tabel untuk pembagi kuadratik:
Koefisien pembagi: $1, -1, -2$.
Koefisien yang dibagi: $2, -3, 0, 5, -2$.

```
      | 2   -3    0    5   -2
  1   |     2   -1   -3   -2 
 -1   |         -2    1    3   -2
  2   |              2   -1   -3 
---------------------------
      | 2    1   -3    6    4
```

Ini masih terlihat seperti tabel Horner biasa.
Sebenarnya, metode Horner-Kino untuk $(x^2-x-2)$ adalah sebagai berikut:
Kita menggunakan koefisien $1$ (untuk $x^2$) dan $-1, -2$ (dari $x^2-x-2$).

```
        |  2    -3     0     5     -2
      1 |       2    -1    -3    -2
     -1 |            -1     1     -3
      2 |                  2     -1
-------------------------------------
        |  2     1    -3     6     2 
```

Kolom terakhir (2) adalah sisa.
Kolom kedua dari belakang (6) adalah koefisien x dari sisa.
Jadi, sisanya adalah $6x + 2$.

Perhitungan pembagian bersusun memberikan sisa $6x+4$. Mari kita cek lagi pembagian bersusunnya.

        2x^2 +  x  + 3
      ________________
 x^2-x-2 | 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 5x - 2
        -(2x^4 - 2x^3 - 4x^2)
        ________________
              -x^3 + 4x^2 + 5x
            -(-x^3 +  x^2 + 2x)
            ________________
                   3x^2 + 3x - 2
                 -(3x^2 - 3x - 6)
                 ____________
                        6x + 4

Ya, pembagian bersusun menunjukkan sisa $6x+4$. Tampaknya ada kesalahan dalam penerapan tabel Horner-Kino untuk pembagi kuadratik pada sumber yang saya rujuk.

Mari kita gunakan metode substitusi akar pembagi.
Pembagi adalah $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.
Sisa pembagian polinomial $P(x)$ oleh $(x-a)(x-b)$ adalah $Ax+B$, di mana:
$P(a) = Aa+B$
$P(b) = Ab+B$

Dalam kasus ini, $a=2$ dan $b=-1$.
$P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x - 2$

$P(2) = 2(2)^4 - 3(2)^3 + 5(2) - 2$
$P(2) = 2(16) - 3(8) + 10 - 2$
$P(2) = 32 - 24 + 10 - 2 = 8 + 8 = 16$

$P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 + 5(-1) - 2$
$P(-1) = 2(1) - 3(-1) - 5 - 2$
$P(-1) = 2 + 3 - 5 - 2 = 5 - 7 = -2$

Sekarang kita punya sistem persamaan:
$2A + B = 16$
$-A + B = -2$

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
$(2A + B) - (-A + B) = 16 - (-2)$
$3A = 18$
$A = 6$

Substitusikan A=6 ke persamaan kedua:
$-6 + B = -2$
$B = -2 + 6$
$B = 4$

Jadi, sisa pembagiannya adalah $6x + 4$.

Kesimpulan: Metode Horner-Kino yang saya coba terapkan untuk pembagi kuadratik tampaknya keliru atau saya salah menginterpretasikannya. Metode substitusi akar pembagi memberikan hasil yang konsisten dengan pembagian bersusun.