Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

Himpunan penyelesaiannya adalah \(\{-\frac{19}{10}\}).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma \(\log^2 (x+2) + \log(x+2)^2 = \log 0.1\), kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Ubahlah bentuk persamaan:**
   Gunakan sifat logaritma \(\log a^m = m \log a\) untuk mengubah suku kedua:
   \(\log^2 (x+2) + 2 \log(x+2) = \log 0.1\)

2. **Substitusi:**
   Misalkan \(y = \log(x+2)\). Persamaan menjadi:
   \(y^2 + 2y = \log 0.1\)

3. **Selesaikan persamaan kuadrat:**
   Karena \(\log 0.1 = \log(10^{-1}) = -1\), persamaan menjadi:
   \(y^2 + 2y = -1\)
   \(y^2 + 2y + 1 = 0\)
   Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi:
   \((y+1)^2 = 0\)
   Sehingga, \(y = -1\).

4. **Kembalikan substitusi:**
   Karena \(y = \log(x+2)\), maka:
   \(\log(x+2) = -1\)

5. **Tentukan nilai x:**
   Dengan definisi logaritma, jika \(\log_b a = c\) maka \(b^c = a\). Dalam kasus ini, basis logaritma adalah 10 (karena tidak dituliskan):
   \(x+2 = 10^{-1}\)
   \(x+2 = \frac{1}{10}\)
   \(x = \frac{1}{10} - 2\)
   \(x = \frac{1}{10} - \frac{20}{10}\)
   \(x = -\frac{19}{10}\)

6. **Periksa domain:**
   Domain dari \(\log(x+2)\) adalah \(x+2 > 0\), yang berarti \(x > -2\).
   Karena \(-\frac{19}{10} = -1.9\) dan \(-1.9 > -2\), maka nilai \(x = -\frac{19}{10}\) memenuhi domain.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(\{-\frac{19}{10}\}).