Tepi bawah sebuah lukisan yang digantung pada dinding

b = 2√6 meter

Pembahasan

Untuk menentukan jarak \"b\" sehingga sudut pandang pengamat terhadap lukisan menjadi maksimal, kita perlu menggunakan kalkulus. Misalkan \"y\" adalah tinggi lukisan dan \"x\" adalah jarak mata pengamat ke tepi bawah lukisan. Maka, tan(alpha) = y/b dan tan(beta) = (y+x)/b, di mana alpha adalah sudut pandang ke tepi bawah dan beta adalah sudut pandang ke tepi atas.
Sudut total \"theta\" yang dilihat pengamat adalah beta - alpha. Kita ingin memaksimalkan \"theta\".
Menggunakan rumus bantuan tan(theta) = tan(beta - alpha) = (tan(beta) - tan(alpha)) / (1 + tan(beta)tan(alpha)).
Mengganti nilai tan(alpha) dan tan(beta):
tan(theta) = ((y+x)/b - y/b) / (1 + ((y+x)/b)(y/b))
tan(theta) = (x/b) / (1 + (xy + y^2)/b^2)
tan(theta) = (xb^2) / (b^2 + xy + y^2)

Untuk mencari nilai \"b\" yang memaksimalkan \"theta\", kita perlu mencari turunan dari \"theta\" terhadap \"b\" dan menyamakannya dengan nol. Atau, kita bisa memaksimalkan \"tan(theta)\" karena fungsi tan monoton naik untuk sudut lancip.
Mengambil turunan dari \"tan(theta)\" terhadap \"b\" dan menyamakannya dengan nol:
d(tan(theta))/db = [2xb^2(b^2 + xy + y^2) - xb^2(2b)] / (b^2 + xy + y^2)^2 = 0
2xb^2(b^2 + xy + y^2) - 2xb^3 = 0
2xb^3 + 2x^2y + 2xy^2 - 2xb^3 = 0
2x^2y + 2xy^2 = 0
Karena x dan y adalah tinggi positif, ini tidak mungkin.

Mari kita gunakan pendekatan lain dengan sudut. Misalkan \"theta_1\" adalah sudut ke tepi bawah dan \"theta_2\" adalah sudut ke tepi atas. Tinggi tepi bawah dari mata pengamat adalah 2 m, dan tinggi lukisan adalah 10 m. Jadi, tinggi tepi atas dari mata pengamat adalah 2 + 10 = 12 m.
Kita memiliki:
tan(theta_1) = 2/b
tan(theta_2) = 12/b
Sudut yang dilihat pengamat adalah \"theta\" = \"theta_2\" - \"theta_1\".
Kita ingin memaksimalkan \"theta\". Ini sama dengan memaksimalkan \"tan(theta)\".
tan(theta) = tan(theta_2 - theta_1) = (tan(theta_2) - tan(theta_1)) / (1 + tan(theta_2)tan(theta_1))
tan(theta) = (12/b - 2/b) / (1 + (12/b)(2/b))
tan(theta) = (10/b) / (1 + 24/b^2)
tan(theta) = (10b) / (b^2 + 24)

Untuk memaksimalkan \"tan(theta)\", kita cari turunan terhadap \"b\" dan samakan dengan nol:
d(tan(theta))/db = [10(b^2 + 24) - 10b(2b)] / (b^2 + 24)^2 = 0
10b^2 + 240 - 20b^2 = 0
240 - 10b^2 = 0
10b^2 = 240
b^2 = 24
b = sqrt(24) = 2 * sqrt(6)

Jadi, jarak \"b\" agar sudut pandang maksimal adalah 2 * sqrt(6) meter.