Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

Diketahui limit x->3 (ax^2+bx+3)/(x^2-2x-3)=5/4 . Nilai

Pertanyaan

Diketahui limit x->3 (ax^2+bx+3)/(x^2-2x-3)=5/4. Nilai a+b=...

Solusi

Verified

Nilai a+b adalah -5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Limit x→3 (ax^2 + bx + 3) / (x^2 - 2x - 3) = 5/4 Karena hasil limitnya adalah nilai terhingga (5/4), maka pembilang juga harus bernilai nol ketika x = 3 (agar penyebut yang bernilai nol tidak membuat limit menjadi tak terhingga). Substitusikan x = 3 ke pembilang: a(3)^2 + b(3) + 3 = 0 9a + 3b + 3 = 0 9a + 3b = -3 Kita bisa sederhanakan persamaan ini dengan membagi 3: 3a + b = -1 (Persamaan 1) Sekarang, kita terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah: Turunan dari ax^2 + bx + 3 adalah 2ax + b Turunan dari x^2 - 2x - 3 adalah 2x - 2 Sehingga, limitnya menjadi: Limit x→3 (2ax + b) / (2x - 2) = 5/4 Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan limit yang baru: (2a(3) + b) / (2(3) - 2) = 5/4 (6a + b) / (6 - 2) = 5/4 (6a + b) / 4 = 5/4 Karena penyebutnya sama, maka pembilangnya juga sama: 6a + b = 5 (Persamaan 2) Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear: 1) 3a + b = -1 2) 6a + b = 5 Kita bisa mengurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2 untuk menemukan nilai 'a': (6a + b) - (3a + b) = 5 - (-1) 3a = 6 a = 2 Substitusikan nilai 'a' ke Persamaan 1: 3(2) + b = -1 6 + b = -1 b = -1 - 6 b = -7 Jadi, nilai a + b = 2 + (-7) = -5.
Topik: Limit Fungsi
Section: Aturan L Hopital

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...