There are 7 boys and 3 girls in a gathering. In how many

a. 241.920 cara, b. 604.800 cara

Pembahasan

Untuk soal a, jika 3 gadis membentuk satu blok, kita dapat menganggap ketiga gadis tersebut sebagai satu unit. Dengan demikian, kita memiliki 7 anak laki-laki dan 1 unit gadis, sehingga total ada 8 unit yang perlu diatur. Jumlah cara mengatur 8 unit ini adalah 8! (8 faktorial). Di dalam unit gadis, ketiga gadis tersebut dapat diatur dalam 3! cara. Oleh karena itu, jumlah total cara pengaturan di mana 3 gadis membentuk satu blok adalah 8! * 3! = 40.320 * 6 = 241.920 cara.

Untuk soal b, ada 7 anak laki-laki dan 3 anak perempuan. Kita perlu mengatur mereka dalam barisan sehingga dua posisi ujung ditempati oleh anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan yang bersebelahan.

Langkah 1: Atur anak laki-laki terlebih dahulu. Ada 7 anak laki-laki. Kita perlu menempatkan mereka di posisi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 (misalnya, jika ada 13 posisi total). Untuk memenuhi syarat bahwa dua posisi ujung ditempati oleh anak laki-laki, kita pilih 2 anak laki-laki dari 7 untuk posisi ujung dalam P(7, 2) cara. Sisa 5 anak laki-laki dapat diatur di 5 posisi yang tersisa di antara anak perempuan dalam 5! cara. Namun, ini menjadi rumit karena penempatan anak perempuan memengaruhi posisi anak laki-laki.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih terstruktur:

1. Tempatkan anak laki-laki di posisi ujung: Ada 7 anak laki-laki. Pilih 2 anak laki-laki untuk menempati posisi ujung. Jumlah cara memilih dan mengatur mereka adalah P(7, 2) = 7 * 6 = 42 cara.
2. Sekarang kita memiliki 5 anak laki-laki yang tersisa dan 3 anak perempuan. Kita perlu mengatur mereka di 11 posisi yang tersisa sehingga tidak ada anak perempuan yang bersebelahan. Ini berarti harus ada setidaknya satu anak laki-laki di antara setiap anak perempuan.
3. Bayangkan kita menempatkan 5 anak laki-laki yang tersisa terlebih dahulu. Ini menciptakan 6 kemungkinan tempat untuk menempatkan anak perempuan (sebelum anak laki-laki pertama, di antara setiap pasang anak laki-laki, dan setelah anak laki-laki terakhir): _ L _ L _ L _ L _ L _
4. Kita perlu memilih 3 dari 6 tempat ini untuk menempatkan 3 anak perempuan. Jumlah cara memilih tempat adalah C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20 cara.
5. Setelah tempat dipilih, 3 anak perempuan dapat diatur di 3 tempat tersebut dalam 3! cara. Jadi, jumlah cara menempatkan anak perempuan adalah 20 * 3! = 20 * 6 = 120 cara.
6. Jumlah cara mengatur 5 anak laki-laki yang tersisa di 5 posisi mereka adalah 5! = 120 cara.

Jadi, total cara untuk skenario b adalah (cara mengatur anak laki-laki di ujung) * (cara mengatur anak laki-laki yang tersisa) * (cara menempatkan anak perempuan).
Total cara = P(7, 2) * 5! * C(6, 3) * 3!
Total cara = 42 * 120 * 20 * 6
Total cara = 42 * 120 * 120
Total cara = 42 * 14.400
Total cara = 604.800 cara.