Tunjukkan bahwa: |cosx sinx 1 0 1 sinx 1 0 cosx|=0

Determinan matriks tersebut adalah -sinx. Agar bernilai nol, sinx harus sama dengan nol.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa determinan matriks tersebut bernilai nol, kita perlu menghitung determinannya menggunakan aturan Sarrus atau ekspansi kofaktor.

Kita akan menggunakan aturan Sarrus untuk matriks 3x3:
|a b c|
|d e f|
|g h i|
determinannya adalah a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).

Dalam kasus ini, matriksnya adalah:
|cosx sinx 1|
|0    1    0|
|sinx 1    0|

Mari kita hitung determinannya:
determinant = cosx * (1*0 - 0*1) - sinx * (0*0 - 0*sinx) + 1 * (0*1 - 1*sinx)
determinant = cosx * (0 - 0) - sinx * (0 - 0) + 1 * (0 - sinx)
determinant = cosx * (0) - sinx * (0) + 1 * (-sinx)
determinant = 0 - 0 - sinx
determinant = -sinx

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau dalam pemahaman saya mengenai matriks yang diberikan. Matriks yang Anda berikan:
|cosx sinx 1|
|0    1    0|
|sinx 1    0|

Jika kita menghitung determinannya, hasilnya adalah -sinx, yang tidak selalu nol kecuali jika sinx = 0 (yaitu, x = nπ, di mana n adalah bilangan bulat).

Namun, jika soalnya merujuk pada matriks yang berbeda, misalnya:
|cosx sinx 1|
|sinx cosx 1|
|sin(2x) cos(2x) 1|
atau jenis matriks lain yang memang determinannya identik dengan nol, maka perhitungannya akan berbeda.

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan matriks yang dimaksud adalah matriks di mana baris kedua adalah [0 1 0]. Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua, determinannya adalah:

determinant = 0 * C₂₁ + 1 * C₂₂ + 0 * C₂₃
determinant = 1 * C₂₂

di mana C₂₂ adalah minor elemen pada baris 2 kolom 2 dikalikan dengan (-1)^(2+2).
Minor elemen pada baris 2 kolom 2 adalah determinan dari matriks yang tersisa setelah menghapus baris 2 dan kolom 2:
|cosx 1|
|sinx 0|

Minor = (cosx * 0) - (1 * sinx) = 0 - sinx = -sinx.

Karena (-1)^(2+2) = (-1)⁴ = 1, maka C₂₂ = 1 * (-sinx) = -sinx.

Jadi, determinan matriks tersebut adalah -sinx.

Untuk membuktikan determinan = 0, perlu ada kondisi tambahan pada x, atau matriks yang berbeda. Jika soalnya persis seperti yang tertulis, maka kesimpulannya adalah determinan = -sinx.