tunjukkan bahwa: limit x -> 0 tan ax/tan bx=a/b

Menggunakan sifat limit trigonometri dasar lim x→0 sin(x)/x = 1, limit tan(ax)/tan(bx) saat x mendekati 0 adalah a/b.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa limit x → 0 tan(ax)/tan(bx) = a/b, kita dapat menggunakan beberapa pendekatan, salah satunya adalah dengan menggunakan sifat limit trigonometri dasar, yaitu limit x → 0 sin(x)/x = 1.

Langkah-langkah pembuktian:

1.  **Ubah bentuk tan(x) menjadi sin(x)/cos(x):**
    Persamaan yang akan dibuktikan adalah:
    lim (x→0) [tan(ax) / tan(bx)]
    Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ) / cos(θ). Maka:
    lim (x→0) [ (sin(ax) / cos(ax)) / (sin(bx) / cos(bx)) ]
    lim (x→0) [ (sin(ax) * cos(bx)) / (cos(ax) * sin(bx)) ]

2.  **Susun ulang ekspresi untuk menggunakan limit sin(x)/x = 1:**
    Kita ingin mendapatkan bentuk sin(kx)/kx. Untuk itu, kita perlu mengalikan dan membagi dengan konstanta yang sesuai.
    lim (x→0) [ (sin(ax) / ax) * (ax / bx) * (bx / sin(bx)) * (cos(bx) / cos(ax)) ]
    Kita pisahkan suku-suku yang relevan:
    = lim (x→0) [ (sin(ax) / ax) ] * lim (x→0) [ ax / bx ] * lim (x→0) [ bx / sin(bx) ] * lim (x→0) [ cos(bx) / cos(ax) ]

3.  **Terapkan sifat limit:**
    *   lim (x→0) [ sin(ax) / ax ] = 1 (Karena jika x → 0, maka ax → 0. Misalkan y = ax, maka limitnya adalah lim y→0 sin(y)/y = 1).
    *   lim (x→0) [ ax / bx ] = a/b (Konstanta a dan b dapat dikeluarkan dari limit, dan x/x = 1).
    *   lim (x→0) [ bx / sin(bx) ] = 1 (Sama seperti poin pertama, ini adalah kebalikan dari limit sin(y)/y).
    *   lim (x→0) [ cos(bx) / cos(ax) ] = cos(0) / cos(0) = 1 / 1 = 1 (Karena cos(0) = 1).

4.  **Kalikan hasil limit:**
    Hasilnya adalah perkalian dari semua limit yang telah kita hitung:
    1 * (a/b) * 1 * 1 = a/b

Oleh karena itu, terbukti bahwa:
lim (x→0) [tan(ax) / tan(bx)] = a/b