Turunan pertama dari fungsi f(x)=3x^2(2x-6)^6 adalah f'(x)=

f'(x) = 12x(2x-6)^5 (4x - 3)

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari f(x) = 3x^2(2x-6)^6, kita perlu menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai. Misalkan u = 3x^2 dan v = (2x-6)^6.
Turunan dari u adalah u' = 6x.
Untuk mencari turunan dari v, kita gunakan aturan rantai. Misalkan w = 2x-6, maka v = w^6. Turunan dari v terhadap w adalah dv/dw = 6w^5. Turunan dari w terhadap x adalah dw/dx = 2.
Menggunakan aturan rantai, dv/dx = dv/dw * dw/dx = 6w^5 * 2 = 12w^5 = 12(2x-6)^5.
Sekarang kita gunakan aturan perkalian: f'(x) = u'v + uv'.
f'(x) = (6x)(2x-6)^6 + (3x^2)(12(2x-6)^5)
f'(x) = 6x(2x-6)^6 + 36x^2(2x-6)^5
Kita bisa memfaktorkan (2x-6)^5 keluar:
f'(x) = (2x-6)^5 [6x(2x-6) + 36x^2]
f'(x) = (2x-6)^5 [12x^2 - 36x + 36x^2]
f'(x) = (2x-6)^5 [48x^2 - 36x]
Kita juga bisa memfaktorkan 12x dari dalam kurung siku:
f'(x) = 12x(2x-6)^5 [4x - 3]
Atau kita bisa memfaktorkan 2 dari (2x-6) terlebih dahulu: (2x-6) = 2(x-3). Maka (2x-6)^5 = 2^5(x-3)^5 = 32(x-3)^5.
Jadi, f'(x) = 32(x-3)^5 [48x^2 - 36x]
f'(x) = 32(x-3)^5 * 12x(4x - 3)
f'(x) = 384x(x-3)^5(4x - 3)
Mari kita kembali ke langkah sebelum memfaktorkan 2:
f'(x) = 6x(2x-6)^6 + 36x^2(2x-6)^5
Kita bisa memfaktorkan 6x dari kedua suku:
f'(x) = 6x(2x-6)^5 [ (2x-6) + 6x ]
f'(x) = 6x(2x-6)^5 [ 8x - 6 ]
Kita bisa memfaktorkan 2 dari (8x-6):
f'(x) = 6x(2x-6)^5 * 2(4x - 3)
f'(x) = 12x(2x-6)^5 (4x - 3).
Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x)=3x^2(2x-6)^6 adalah f'(x) = 12x(2x-6)^5 (4x - 3).