Kelas 10mathAljabar
Ubah setiap bentuk berikut menjadi akar(m) - akar(m - 1)
Pertanyaan
Ubah setiap bentuk berikut menjadi $\sqrt{m} - \sqrt{m - 1}$ dengan $m$ adalah bilangan bulat: a. $(\sqrt{2} - 1)^3$ b. $(\sqrt{2} - 1)^4$
Solusi
Verified
Bentuk $(\sqrt{2} - 1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$ dan $(\sqrt{2} - 1)^4 = 17 - 12\sqrt{2}$ tidak dapat diubah secara langsung menjadi bentuk $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$ dengan $m$ bilangan bulat.
Pembahasan
a. Untuk mengubah bentuk $(\sqrt{2} - 1)^3$ menjadi $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$, kita perlu mengekspansi dan menyederhanakan bentuk tersebut. $(\sqrt{2} - 1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 - 1^3$ $= 2\sqrt{2} - 3(2) + 3\sqrt{2} - 1$ $= 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1$ $= 5\sqrt{2} - 7$ Sekarang, kita perlu mencari nilai $m$ sehingga $5\sqrt{2} - 7 = \sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. Jika kita misalkan $m = 25$, maka $\sqrt{25} - \sqrt{25-1} = 5 - \sqrt{24} = 5 - 2\sqrt{6}$. Ini tidak sama. Jika kita misalkan $m = 49$, maka $\sqrt{49} - \sqrt{49-1} = 7 - \sqrt{48} = 7 - 4\sqrt{3}$. Ini juga tidak sama. Mari kita coba manipulasi aljabar lain. Bentuk $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^n$ seringkali tidak langsung menghasilkan bentuk $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. Namun, kita bisa mencoba pendekatan lain. Perhatikan bahwa jika kita memiliki $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$, kita bisa mengalikannya dengan sekawan $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{m-1}}{\sqrt{m} + \sqrt{m-1}}$ untuk mendapatkan $\frac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{m-1}}$. Untuk bagian a, $(\sqrt{2} - 1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$. Kita ingin ini sama dengan $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. Perhatikan bahwa jika $m=2$, maka $\sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1$. Ini tidak sama. Jika kita mengkuadratkan $(\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$. Jika kita mengkuadratkan $(\sqrt{2}-1)^3 = (5\sqrt{2} - 7)^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2(5\sqrt{2})(7) + 7^2 = 50 - 70\sqrt{2} + 49 = 99 - 70\sqrt{2}$. Ini tidak mengarah pada bentuk $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. Perlu ada klarifikasi lebih lanjut mengenai bentuk target $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$ atau mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal. b. Untuk mengubah bentuk $(\sqrt{2} - 1)^4$ menjadi $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. $(\sqrt{2} - 1)^4 = ((\sqrt{2} - 1)^2)^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2$ $= 3^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2$ $= 9 - 12\sqrt{2} + 4(2)$ $= 9 - 12\sqrt{2} + 8$ $= 17 - 12\sqrt{2}$ Sama seperti bagian a, bentuk ini tidak secara langsung menyerupai $\sqrt{m} - \sqrt{m-1}$. Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau pemahaman tentang bentuk target.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Bentuk Pangkat Dan Akar
Section: Penyederhanaan Bentuk Akar
Apakah jawaban ini membantu?