Vektor a dan b membentuk sudut a. Diketahui |a|=6,|b|=15,

\\sqrt{3}

Pembahasan

Diketahui vektor a dan b membentuk sudut $\theta$. $|a|=6$, $|b|=15$, dan $a \\(b+a) = 81$. Kita perlu mencari nilai $\tan \theta$.

Dari persamaan $a \\(b+a) = 81$, kita bisa menguraikannya menggunakan sifat distributif perkalian titik:
$a \\b + a \\a = 81$
$a \\b + |a|^2 = 81$

Kita tahu bahwa $a \\b = |a| |b| \cos \theta$. Substitusikan nilai yang diketahui:
$|a| |b| \cos \theta + |a|^2 = 81$
$(6)(15) \cos \theta + 6^2 = 81$
$90 \cos \theta + 36 = 81$
$90 \cos \theta = 81 - 36$
$90 \cos \theta = 45$
$\\cos \theta = 45/90$
$\\cos \theta = 1/2$

Jika $\\cos \theta = 1/2$, maka sudut $\theta$ adalah 60 derajat (atau $\\pi/3$ radian).

Sekarang kita perlu mencari $\\tan \theta$. $\\tan \theta = \\sin \theta / \\cos \theta$.
Untuk mencari $\\sin \theta$, kita bisa menggunakan identitas $\\sin^2 \theta + \\cos^2 \theta = 1$:
$\\sin^2 \theta + (1/2)^2 = 1$
$\\sin^2 \theta + 1/4 = 1$
$\\sin^2 \theta = 1 - 1/4$
$\\sin^2 \theta = 3/4$
$\\sin \theta = \\sqrt{3/4}$
$\\sin \theta = \\sqrt{3}/2$ (karena sudut dalam segitiga biasanya lancip, sinus positif).

Akhirnya, $\\tan \theta = \\sin \theta / \\cos \theta = (\\sqrt{3}/2) / (1/2) = \\sqrt{3}$.

Jadi, nilai dari $\\tan \theta$ adalah $\\sqrt{3}$.