Y B (4, 4) A (-4, 1) C (7, 1) X Agar gambar di atas menjadi

Titik koordinat yang tepat adalah (4, -2).

Pembahasan

Agar gambar tersebut menjadi sebuah layang-layang, kita perlu memahami sifat-sifat layang-layang. Layang-layang memiliki dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang. Sumbu simetrinya membagi layang-layang menjadi dua segitiga sama kaki yang kongruen. Titik potong diagonalnya tegak lurus, dan salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri. 

Dalam soal ini, kita diberikan tiga titik: A(-4, 1), B(4, 4), dan C(7, 1). Sumbu simetri layang-layang biasanya sejajar dengan salah satu sumbu koordinat atau berimpit dengan salah satu garis koordinat. Kita bisa perhatikan bahwa titik A dan C memiliki koordinat y yang sama (y=1). Ini menunjukkan bahwa garis AC mendatar. Jika AC adalah salah satu diagonal layang-layang, maka diagonal lainnya harus tegak lurus terhadap AC dan membagi AC menjadi dua sama panjang (jika AC adalah sumbu simetri) atau membagi layang-layang menjadi dua segitiga sama kaki. 

Agar ABCD membentuk layang-layang, titik D harus memenuhi syarat:
1. Jarak AD = AB atau Jarak CD = CB.
2. Garis BD harus tegak lurus dengan AC, atau jarak titik D dari sumbu simetri (jika AC adalah sumbu simetri) sama dengan jarak B dari sumbu simetri.

Karena A dan C memiliki y=1, garis AC adalah horizontal. Titik B memiliki y=4. Sumbu simetri layang-layang yang dibentuk oleh titik-titik ini kemungkinan besar adalah garis vertikal yang melalui titik tengah AC, atau garis horizontal yang melalui B jika B dan D simetris terhadap AC. 

Mari kita periksa kemungkinan AC sebagai diagonal. Titik tengah AC adalah ((-4+7)/2, (1+1)/2) = (3/2, 1). Jika layang-layang memiliki sumbu simetri yang melalui titik tengah AC dan tegak lurus AC (garis x=3/2), maka titik B dan D harus simetris terhadap garis ini. Jarak B(4,4) dari garis x=3/2 adalah |4 - 3/2| = |5/2|. Maka D harus berada pada x = 3/2 - 5/2 = -2/2 = -1. Koordinat y untuk D bisa sama dengan B atau berbeda. 

Namun, jika kita melihat struktur layang-layang, biasanya dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang. Mari kita hitung jarak antar titik yang sudah ada:
AB = sqrt((4 - (-4))^2 + (4 - 1)^2) = sqrt(8^2 + 3^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)
BC = sqrt((7 - 4)^2 + (1 - 4)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18)
AC = sqrt((7 - (-4))^2 + (1 - 1)^2) = sqrt(11^2 + 0^2) = sqrt(121) = 11

Jika ABCD adalah layang-layang, maka bisa jadi AB = AD dan CB = CD, atau AB = CB dan AD = CD. Kita sudah lihat AB != BC.
Jika AB = AD = sqrt(73) dan CB = CD = sqrt(18), maka D harus berada pada lingkaran dengan pusat A dan jari-jari sqrt(73), DAN pada lingkaran dengan pusat C dan jari-jari sqrt(18).

Kemungkinan lain adalah layang-layang memiliki sumbu simetri vertikal. Titik A(-4,1) dan C(7,1) tidak simetris terhadap garis vertikal manapun yang sederhana terkait titik B(4,4). 

Jika kita mengasumsikan bahwa sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik B, yaitu x=4. Maka D harus simetris terhadap B terhadap sumbu y=1 (garis AC). Jarak B(4,4) dari garis y=1 adalah |4-1|=3. Maka D harus berada pada y = 1-3 = -2. Koordinat x untuk D harus berada pada garis x=4 (simetris terhadap B pada sumbu x=4). Jadi D(4,-2).

Mari kita cek sifat layang-layang dengan D(4,-2):
AB = sqrt(73)
BC = sqrt(18)
AD = sqrt((4 - (-4))^2 + (-2 - 1)^2) = sqrt(8^2 + (-3)^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73)
CD = sqrt((7 - 4)^2 + (1 - (-2))^2) = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18)

Dengan D(4,-2), kita memiliki AB = AD dan BC = CD. Ini adalah sifat layang-layang. Titik D yang tepat adalah (4, -2).