Akar-akar dari 2x^2-3x-9=0 adalah x1 dan x2 . Nilai dari

\(\frac{45}{4}\)

Pembahasan

Diberikan persamaan kuadrat \( 2x^2 - 3x - 9 = 0 \). Akar-akarnya adalah \( x_1 \) dan \( x_2 \). Kita ingin mencari nilai dari \( x_1^2 + x_2^2 \). Dari persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \), kita tahu bahwa:
Jumlah akar: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
Hasil kali akar: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).
Dalam kasus ini, \( a=2 \), \( b=-3 \), dan \( c=-9 \).
Maka:
\( x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \)
\( x_1 x_2 = \frac{-9}{2} \).
Kita dapat menggunakan identitas \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \).
Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali akar:
\( x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 2\left( \frac{-9}{2} \right) \)
\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} - (-9) \)
\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + 9 \)
Untuk menjumlahkannya, samakan penyebutnya:
\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{9}{4} + \frac{36}{4} \)
\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{9 + 36}{4} \)
\( x_1^2 + x_2^2 = \frac{45}{4} \)