Balok KLMN.PQRS mempunyai panjang KL = 3 cm, LM = 4 cm, dan

60/13 cm

Pembahasan

Diketahui balok KLMN.PQRS dengan panjang KL = 3 cm (panjang), LM = 4 cm (lebar), dan KP = 12 cm (tinggi).
Kita perlu mencari jarak dari titik R ke diagonal PM.

Untuk mempermudah, kita dapat menggunakan sistem koordinat.
Misalkan K = (0, 0, 0).
Maka:
L = (3, 0, 0)
M = (3, 4, 0)
N = (0, 4, 0)

P = (0, 0, 12)
Q = (3, 0, 12)
R = (3, 4, 12)
S = (0, 4, 12)

Titik R memiliki koordinat (3, 4, 12).

Diagonal PM adalah garis yang menghubungkan titik P(0, 0, 12) dan M(3, 4, 0).

Persamaan vektor untuk garis PM dapat dirumuskan sebagai:
$\vec{PM} = M - P = (3, 4, 0) - (0, 0, 12) = (3, 4, -12)$

Persamaan parametrik garis PM adalah:
$x(t) = 0 + 3t = 3t$
$y(t) = 0 + 4t = 4t$
$z(t) = 12 - 12t$

Kita ingin mencari jarak dari titik R(3, 4, 12) ke garis PM.
Misalkan titik pada garis PM yang terdekat dengan R adalah T. Vektor RT harus tegak lurus dengan vektor arah garis PM.

Titik T pada garis PM dapat ditulis sebagai T = (3t, 4t, 12 - 12t).
Vektor RT = T - R = (3t - 3, 4t - 4, 12 - 12t - 12)
Vektor RT = (3t - 3, 4t - 4, -12t)

Syarat tegak lurus: RT . PM = 0
$(3t - 3)(3) + (4t - 4)(4) + (-12t)(-12) = 0$
$9t - 9 + 16t - 16 + 144t = 0$
$169t - 25 = 0$
$169t = 25$
$t = \frac{25}{169}$

Sekarang kita substitusikan nilai t ke dalam vektor RT:
RT = (3(\frac{25}{169}) - 3, 4(\frac{25}{169}) - 4, -12(\frac{25}{169}))
RT = (\frac{75}{169} - \frac{507}{169}, \frac{100}{169} - \frac{676}{169}, -\frac{300}{169})
RT = (-\frac{432}{169}, -\frac{576}{169}, -\frac{300}{169})

Jarak R ke PM adalah panjang dari vektor RT:
Jarak = |RT|
Jarak = $\sqrt{(-\frac{432}{169})^2 + (-\frac{576}{169})^2 + (-\frac{300}{169})^2}$
Jarak = $\frac{1}{169} \sqrt{432^2 + 576^2 + 300^2}$
Jarak = $\frac{1}{169} \sqrt{186624 + 331776 + 90000}$
Jarak = $\frac{1}{169} \sqrt{608400}$
Jarak = $\frac{1}{169} \sqrt{3600 \times 169}$
Jarak = $\frac{1}{169} \times 60 \times 13$
Jarak = $\frac{780}{169}$
Jarak = $\frac{60}{13}$ cm

Jadi, jarak titik R ke diagonal PM adalah $\frac{60}{13}$ cm.