Bentuk sigma n=1 10 (n^2-4) bila diubah ke dalam notasi

$\sum_{k=-2}^{7} (k^2 + 6k + 5)$

Pembahasan

Untuk mengubah notasi sigma $\sum_{n=1}^{10} (n^2-4)$ dengan batas atas 7, kita perlu menyesuaikan indeksnya. Misalkan indeks baru adalah $k$. Kita ingin $k$ berjalan dari 1 sampai 7. Jika kita menetapkan $n = k+m$, maka ketika $k=1$, $n$ harus bernilai 1, sehingga $1 = 1+m$, yang berarti $m=0$. Jadi, $n=k$. Namun, batas atasnya adalah 10, dan kita ingin batas atasnya menjadi 7. Ini berarti kita perlu mengubah rentang indeks.

Alternatifnya, kita bisa memisahkan deretnya. Namun, soal meminta perubahan batas atas.

Mari kita coba dengan mengganti indeks. Jika kita ingin batas atas menjadi 7, artinya indeks $n$ akan berjalan dari suatu nilai awal hingga 7. Karena batas bawah aslinya adalah 1, mari kita coba mengganti indeks $n$ dengan $k+c$ sedemikian rupa sehingga ketika $k=7$, $n=10$. Maka $10 = 7+c$, sehingga $c=3$. Jika $n=k+3$, maka ketika $n=1$, $1 = k+3$, sehingga $k=-2$.

Jadi, batas bawah baru adalah -2 dan batas atas adalah 7. Ekspresinya menjadi $((k+3)^2 - 4)$.

$
\sum_{n=1}^{10} (n^2-4) = \sum_{k=-2}^{7} ((k+3)^2 - 4)
$

Mari kita ekspansikan: $(k+3)^2 - 4 = k^2 + 6k + 9 - 4 = k^2 + 6k + 5$.

Jadi, bentuk sigma dengan batas atas 7 adalah $\sum_{k=-2}^{7} (k^2 + 6k + 5)$.