Diketahui lingkaran 2x^2+2y^2-4x+3py-30=0 melalui titik

2x^2 + 2y^2 - 4x + 12y - 180 = 0

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang sepusat tetapi memiliki jari-jari dua kali lipat dari lingkaran yang diberikan, kita perlu menemukan pusat dan jari-jari lingkaran awal terlebih dahulu.

Persamaan lingkaran awal: 2x^2 + 2y^2 - 4x + 3py - 30 = 0

Untuk memudahkan, kita bagi seluruh persamaan dengan 2 agar koefisien x^2 dan y^2 menjadi 1:
x^2 + y^2 - 2x + (3p/2)y - 15 = 0

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, atau x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0.

Dari persamaan yang telah dibagi, kita dapat mengidentifikasi:
- Koefisien x: -2a = -2  => a = 1
- Koefisien y: -2b = 3p/2 => b = -3p/4
- Konstanta c = -15

Pusat lingkaran (a, b) adalah (1, -3p/4).

Jari-jari (r) dapat dihitung menggunakan rumus r^2 = a^2 + b^2 - c:
r^2 = (1)^2 + (-3p/4)^2 - (-15)
r^2 = 1 + 9p^2/16 + 15
r^2 = 16 + 9p^2/16

Diketahui bahwa lingkaran melalui titik (-2, 1). Kita substitusikan titik ini ke dalam persamaan lingkaran awal:
2(-2)^2 + 2(1)^2 - 4(-2) + 3p(1) - 30 = 0
2(4) + 2(1) + 8 + 3p - 30 = 0
8 + 2 + 8 + 3p - 30 = 0
18 + 3p - 30 = 0
3p - 12 = 0
3p = 12
p = 4

Sekarang kita substitusikan nilai p = 4 ke dalam pusat dan jari-jari:
Pusat (a, b) = (1, -3(4)/4) = (1, -3)

Jari-jari awal (r_awal)^2 = 16 + 9(4)^2/16
(r_awal)^2 = 16 + 9(16)/16
(r_awal)^2 = 16 + 9 = 25
r_awal = 5

Lingkaran baru sepusat dengan lingkaran awal, sehingga pusatnya tetap (1, -3).
Panjang jari-jari lingkaran baru adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran awal:
r_baru = 2 * r_awal = 2 * 5 = 10

Persamaan lingkaran baru dengan pusat (1, -3) dan jari-jari 10 adalah:
(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 10^2
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 100

Kita bisa ekspansi persamaan ini:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 100
x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 100
x^2 + y^2 - 2x + 6y - 90 = 0

Jika kita ingin persamaan dalam bentuk yang sama dengan soal awal (dengan koefisien 2), kita kalikan dengan 2:
2(x^2 + y^2 - 2x + 6y - 90) = 0
2x^2 + 2y^2 - 4x + 12y - 180 = 0

Jawaban: Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 2x^2 + 2y^2 - 4x + 12y - 180 = 0.