Berapa banyak pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi

Ada 16 pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan tersebut.

Pembahasan

Kita perlu mencari jumlah pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 2xy - 5x + y = 55.
Kita bisa menggunakan metode faktorisasi dengan menambahkan konstanta pada kedua sisi untuk membuat persamaan dapat difaktorkan.

Persamaan awal: 2xy - 5x + y = 55

Kita ingin bentuknya menjadi (ax + b)(cy + d) = K.
Mari kita coba faktorkan:
Kalikan seluruh persamaan dengan 2 agar koefisien x menjadi genap:
4xy - 10x + 2y = 110

Sekarang, kita bisa memfaktorkan bagian 4xy - 10x:
2x(2y - 5)

Untuk mendapatkan suku +2y, kita perlu menambahkan 1 pada faktor kedua, sehingga menjadi (2y - 5).
Perhatikan bahwa jika kita mengalikan (2x + 1)(2y - 5), kita akan mendapatkan:
(2x + 1)(2y - 5) = 4xy - 10x + 2y - 5

Bandingkan dengan persamaan kita (4xy - 10x + 2y = 110).
Kita lihat bahwa persamaan kita memiliki '4xy - 10x + 2y'.
Jadi, kita bisa menulisnya sebagai:
(2x + 1)(2y - 5) + 5 = 110
(2x + 1)(2y - 5) = 110 - 5
(2x + 1)(2y - 5) = 105

Sekarang kita perlu mencari pasangan faktor dari 105. Faktor-faktor dari 105 adalah:
±1, ±3, ±5, ±7, ±15, ±21, ±35, ±105

Misalkan A = 2x + 1 dan B = 2y - 5.
Maka A * B = 105.
Kita perlu mencari nilai x dan y yang merupakan bilangan bulat.

Karena x adalah bilangan bulat, maka 2x + 1 haruslah bilangan ganjil. Demikian pula, karena y adalah bilangan bulat, maka 2y - 5 juga haruslah bilangan ganjil.

Mari kita daftarkan pasangan faktor dari 105 yang keduanya ganjil:

1. A = 1, B = 105
   2x + 1 = 1  => 2x = 0 => x = 0
   2y - 5 = 105 => 2y = 110 => y = 55
   Pasangan: (0, 55)

2. A = 3, B = 35
   2x + 1 = 3  => 2x = 2 => x = 1
   2y - 5 = 35 => 2y = 40 => y = 20
   Pasangan: (1, 20)

3. A = 5, B = 21
   2x + 1 = 5  => 2x = 4 => x = 2
   2y - 5 = 21 => 2y = 26 => y = 13
   Pasangan: (2, 13)

4. A = 7, B = 15
   2x + 1 = 7  => 2x = 6 => x = 3
   2y - 5 = 15 => 2y = 20 => y = 10
   Pasangan: (3, 10)

5. A = 15, B = 7
   2x + 1 = 15 => 2x = 14 => x = 7
   2y - 5 = 7  => 2y = 12 => y = 6
   Pasangan: (7, 6)

6. A = 21, B = 5
   2x + 1 = 21 => 2x = 20 => x = 10
   2y - 5 = 5  => 2y = 10 => y = 5
   Pasangan: (10, 5)

7. A = 35, B = 3
   2x + 1 = 35 => 2x = 34 => x = 17
   2y - 5 = 3  => 2y = 8  => y = 4
   Pasangan: (17, 4)

8. A = 105, B = 1
   2x + 1 = 105 => 2x = 104 => x = 52
   2y - 5 = 1  => 2y = 6  => y = 3
   Pasangan: (52, 3)

Sekarang kita pertimbangkan faktor negatif:

9. A = -1, B = -105
   2x + 1 = -1  => 2x = -2 => x = -1
   2y - 5 = -105 => 2y = -100 => y = -50
   Pasangan: (-1, -50)

10. A = -3, B = -35
    2x + 1 = -3  => 2x = -4 => x = -2
    2y - 5 = -35 => 2y = -30 => y = -15
    Pasangan: (-2, -15)

11. A = -5, B = -21
    2x + 1 = -5  => 2x = -6 => x = -3
    2y - 5 = -21 => 2y = -16 => y = -8
    Pasangan: (-3, -8)

12. A = -7, B = -15
    2x + 1 = -7  => 2x = -8 => x = -4
    2y - 5 = -15 => 2y = -10 => y = -5
    Pasangan: (-4, -5)

13. A = -15, B = -7
    2x + 1 = -15 => 2x = -16 => x = -8
    2y - 5 = -7  => 2y = -2 => y = -1
    Pasangan: (-8, -1)

14. A = -21, B = -5
    2x + 1 = -21 => 2x = -22 => x = -11
    2y - 5 = -5  => 2y = 0  => y = 0
    Pasangan: (-11, 0)

15. A = -35, B = -3
    2x + 1 = -35 => 2x = -36 => x = -18
    2y - 5 = -3  => 2y = 2   => y = 1
    Pasangan: (-18, 1)

16. A = -105, B = -1
    2x + 1 = -105 => 2x = -106 => x = -53
    2y - 5 = -1  => 2y = 4   => y = 2
    Pasangan: (-53, 2)

Total ada 16 pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan tersebut.