Bukit B terletak sejauh 24 km dari bukit A pada arah 30.

Jarak bukit C dengan bukit A adalah $12\sqrt{6}$ km.

Pembahasan

Kita dapat menggunakan aturan kosinus untuk menyelesaikan masalah ini. Misalkan jarak bukit A ke B adalah c = 24 km, jarak bukit A ke C adalah b, dan jarak bukit B ke C adalah a. Sudut di bukit A yang dibentuk oleh arah ke B dan C adalah $\alpha = 105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$. Sudut di bukit B yang dibentuk oleh arah ke A dan C adalah $\beta$. Arah C dari B adalah $105^{\circ} + 180^{\circ} = 285^{\circ}$ atau $-75^{\circ}$. Arah A dari B adalah $30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$ atau $-150^{\circ}$. Sudut $\beta$ adalah selisih antara arah A dari B dan arah C dari B, yaitu $|-150^{\circ} - (-75^{\circ})| = |-75^{\circ}| = 75^{\circ}$. Atau, kita bisa mencari sudut di B dari arah utara, yaitu $210^{\circ}$. Sudut di C dari utara adalah $105^{\circ}$. Sudut di B dari A adalah $30^{\circ}$. Sudut di C dari A adalah $105^{\circ}$. Sudut di C dari B adalah $150^{\circ}$. Dari informasi arah, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut yang dibentuk di bukit A antara arah ke B dan C adalah $105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$. Dalam segitiga ABC, kita memiliki sisi c = 24 km (AB) dan sudut A = $75^{\circ}$. Kita perlu mencari sisi b (AC). Kita juga tahu bahwa jarak C ke B adalah 150 km. Dengan menggunakan aturan sinus: $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C$. Kita perlu mencari sudut B atau C terlebih dahulu. Sudut arah B dari A adalah 30 derajat. Sudut arah C dari A adalah 105 derajat. Sudut arah C dari B adalah 150 derajat. Mari kita gunakan hukum kosinus dengan sisi-sisi yang diketahui. Kita tahu AB = 24 km. Misalkan AC = x km. Sudut BAC = $105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$. Kita perlu sudut ABC atau ACB. Dari arah, sudut B dapat dihitung. Arah A dari B adalah $30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$. Arah C dari B adalah $150^{\circ}$ (relatif terhadap B). Jadi, sudut ABC adalah $210^{\circ} - 150^{\circ} = 60^{\circ}$. Menggunakan hukum kosinus untuk mencari AC (sisi b): $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$. Kita tidak tahu 'a' (BC). Mari kita gunakan informasi yang diberikan secara berbeda. AB = 24 km. Sudut yang dibentuk di A antara AB dan AC adalah $105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$. Kita juga diberikan jarak BC = 150 km. Ini tampaknya salah karena jarak C ke A (105) dan C ke B (150) serta A ke B (24) harus membentuk segitiga yang valid. Jika C ke B adalah 150 km, dan A ke B adalah 24 km, maka sudut di C dari B adalah 150 derajat. Mari kita gunakan hukum kosinus pada segitiga ABC, di mana AB = 24. Misalkan AC = x. Sudut BAC = $75^{\circ}$. Kita perlu sudut ABC atau ACB. Sudut arah dari B ke A adalah $30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$. Sudut arah dari B ke C adalah $105^{\circ} + 180^{\circ} = 285^{\circ}$ jika kita mengukur dari C. Informasi arah C dari B adalah 150 derajat. Sudut di B, yaitu sudut ABC, dibentuk oleh garis BA dan BC. Arah B ke A adalah 210 derajat. Arah B ke C adalah $210^{\circ} - 150^{\circ} = 60^{\circ}$ (jika 150 adalah sudut yang lebih kecil dari utara). Jika kita menggunakan arah dari utara: Arah A dari B = 210. Arah C dari B = 105. Sudut di B = $|210 - 105| = 105^{\circ}$ atau $360 - 105 = 255^{\circ}$. Ini tidak benar. Perhatikan kembali informasi arah. Bukit C terletak pada arah 105 dari bukit A. Bukit C terletak pada arah 150 dari bukit B. Bukit B terletak pada arah 30 dari bukit A. Sudut di A adalah $105^{\circ} - 30^{\circ} = 75^{\circ}$. Dalam segitiga ABC, kita punya AB = 24. Kita perlu AC. Kita bisa mencari sudut B. Sudut arah dari B ke A adalah $30^{\circ} + 180^{\circ} = 210^{\circ}$. Sudut arah dari B ke C adalah $105^{\circ} + 180^{\circ} = 285^{\circ}$. Jadi, sudut ABC adalah selisih arah dari B ke C dan B ke A, yaitu $|285^{\circ} - 210^{\circ}| = 75^{\circ}$. Atau sudut yang lain adalah $360 - 75 = 285$. Kita gunakan sudut yang lebih kecil, 75 derajat. Sekarang kita punya segitiga dengan AB = 24, sudut A = $75^{\circ}$, sudut B = $75^{\circ}$. Maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC = BC. Ini berarti BC = 24 km. Tapi informasi soal menyatakan jarak C ke B adalah 150 km. Ada kontradiksi dalam soal ini. Mari kita asumsikan bahwa '150 dari bukit B' berarti jaraknya 150 km, bukan arahnya. Jika jarak BC = 150 km, maka kita punya AB = 24, Sudut A = $75^{\circ}$. Kita perlu mencari AC. Kita tidak punya cukup informasi untuk menyelesaikan ini jika 150 adalah jarak. Jika 150 adalah arah, mari kita cek kembali sudut B. Arah A dari B adalah 210. Arah C dari B adalah 150. Sudut ABC = $210 - 150 = 60^{\circ}$. Dengan AB = 24, sudut A = $75^{\circ}$, sudut B = $60^{\circ}$. Maka sudut C = $180 - 75 - 60 = 45^{\circ}$. Menggunakan hukum sinus: $AC/\sin B = AB/\sin C$. $AC/\sin 60^{\circ} = 24/\sin 45^{\circ}$. $AC = (24 * \sin 60^{\circ}) / \sin 45^{\circ} = (24 * \sqrt{3}/2) / (\sqrt{2}/2) = 24 * \sqrt{3} / \sqrt{2} = 24 * \sqrt{6} / 2 = 12\sqrt{6}$ km. Jika kita menggunakan hukum kosinus dengan sudut di A: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * \cos A$. $150^2 = 24^2 + AC^2 - 2 * 24 * AC * \cos 75^{\circ}$. $22500 = 576 + AC^2 - 48 * AC * (\sqrt{6}-\sqrt{2})/4$. Ini menghasilkan kuadratik yang rumit. Mari kita percaya pada interpretasi sudut B = $60^{\circ}$ dan sudut C = $45^{\circ}$. Maka jarak bukit C dengan bukit A adalah $12\sqrt{6}$ km.