Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4 n-1 untuk semua bilangan

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 3 adalah faktor dari 4^n - 1 untuk semua bilangan bulat positif n, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, kita periksa apakah 4^1 - 1 habis dibagi 3.
4^1 - 1 = 4 - 1 = 3.
Karena 3 habis dibagi 3, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 4^k - 1 habis dibagi 3. Ini berarti 4^k - 1 = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 4^(k+1) - 1 habis dibagi 3.
4^(k+1) - 1 = 4 * 4^k - 1
Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 4^k = 3m + 1.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
4^(k+1) - 1 = 4 * (3m + 1) - 1
4^(k+1) - 1 = 12m + 4 - 1
4^(k+1) - 1 = 12m + 3
4^(k+1) - 1 = 3 * (4m + 1)

Karena 4m + 1 adalah bilangan bulat, maka 4^(k+1) - 1 habis dibagi 3.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 3 adalah faktor dari 4^n - 1 untuk semua bilangan bulat positif n.