limit x mendekati 0 (1-cos 2x)sin 5x/(x^2 sin 3x)

Nilai limitnya adalah 10/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Limit x mendekati 0 dari (1 - cos 2x)sin 5x / (x² sin 3x)

Kita tahu bahwa identitas trigonometri: 1 - cos 2x = 2 sin² x.
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
Limit x mendekati 0 dari (2 sin² x)sin 5x / (x² sin 3x)

Kita juga tahu sifat limit trigonometri dasar: sin ax / ax → 1 saat x → 0.
Untuk menerapkan sifat ini, kita perlu memanipulasi persamaan:
Limit x mendekati 0 dari (2 sin² x * sin 5x) / (x² * sin 3x)
= Limit x mendekati 0 dari [2 * (sin x / x) * (sin x / x) * x * x * (sin 5x / 5x) * 5x] / [x * x * (sin 3x / 3x) * 3x]
= Limit x mendekati 0 dari [2 * (sin x / x)² * (sin 5x / 5x) * (5x) * x²] / [(sin 3x / 3x) * (3x) * x²]

Kita bisa membatalkan x²:
= Limit x mendekati 0 dari [2 * (sin x / x)² * (sin 5x / 5x) * 5x] / [(sin 3x / 3x) * 3x]

Sekarang, terapkan sifat limit sin ax / ax → 1:
= 2 * (1)² * (1) * 5x / (1) * 3x
= 2 * 5x / 3x
= 10x / 3x

Batalkan x:
= 10 / 3

Jadi, nilai limitnya adalah 10/3.