Buktikan bahwa 4007^n-1 habis dibagi 2003

Dengan sifat modular aritmatika, karena 4007 = 2*2003 + 1, maka 4007 ≡ 1 (mod 2003), sehingga 4007^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 2003). Ini berarti 4007^n - 1 habis dibagi 2003.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 4007^n - 1 habis dibagi 2003, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau sifat modular aritmatika.

Metode 1: Sifat Modular Aritmatika
Kita ingin menunjukkan bahwa 4007^n ≡ 1 (mod 2003).
Perhatikan bahwa 4007 = 2 * 2003 + 1.
Jadi, 4007 ≡ 1 (mod 2003).

Menurut sifat eksponensial dalam aritmatika modular, jika a ≡ b (mod m), maka a^n ≡ b^n (mod m).
Dalam kasus ini, a = 4007, b = 1, m = 2003, dan eksponennya adalah n.
Karena 4007 ≡ 1 (mod 2003), maka:
4007^n ≡ 1^n (mod 2003)
4007^n ≡ 1 (mod 2003)

Ini berarti bahwa 4007^n - 1 memberikan sisa 0 ketika dibagi oleh 2003, yang menunjukkan bahwa 4007^n - 1 habis dibagi 2003.

Metode 2: Induksi Matematika
Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, kita perlu membuktikan bahwa 4007^1 - 1 habis dibagi 2003.
4007 - 1 = 4006.
4006 / 2003 = 2.
Karena 4006 adalah kelipatan dari 2003, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 4007^k - 1 habis dibagi 2003. Ini berarti 4007^k - 1 = 2003m untuk suatu bilangan bulat m, atau 4007^k = 2003m + 1.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 4007^(k+1) - 1 habis dibagi 2003.

Perhatikan 4007^(k+1) - 1:
4007^(k+1) - 1 = 4007^k * 4007 - 1

Gunakan hipotesis induksi (4007^k = 2003m + 1):
= (2003m + 1) * 4007 - 1
= 2003m * 4007 + 1 * 4007 - 1
= 2003m * 4007 + 4007 - 1
= 2003m * 4007 + 4006

Kita tahu bahwa 4006 = 2 * 2003.
= 2003m * 4007 + 2 * 2003

Faktorkan 2003:
= 2003 * (m * 4007 + 2)

Karena (m * 4007 + 2) adalah suatu bilangan bulat, maka 4007^(k+1) - 1 adalah kelipatan dari 2003.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa 4007^n - 1 habis dibagi 2003 adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n.