Buktikan bahwa 8 n+1<3^(n) untuk setiap bilangan asli n >=

Terbukti dengan induksi matematika bahwa $3^{n+1} < 8^n$ untuk $n \ge 3$.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan $8^{n+1} < 3^n$ untuk setiap bilangan asli $n \ge 3$, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk $n=3$, kita periksa apakah ketidaksamaan berlaku:
$8^{3+1} < 3^3$
$8^4 < 27$
$4096 < 27$
Ini salah. Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pernyataan yang diberikan. Mari kita asumsikan soalnya adalah membuktikan $8^{n} < 3^{n+1}$ atau variasi lain.

Namun, jika kita harus mengikuti soal persis seperti yang diberikan, kita perlu menunjukkan bahwa ada kesalahan. Ketidaksamaan $8^{n+1} < 3^n$ tidak berlaku untuk $n=3$.

Mari kita coba analisis rasio $\frac{3^{n+1}}{8^n} = 3 \left(\frac{3}{8}\right)^n$. Nilai ini akan semakin kecil seiring bertambahnya $n$.

Kemungkinan besar, soal ini memiliki kesalahan penulisan. Jika yang dimaksud adalah membuktikan $3^n < 8^{n+1}$ untuk $n \ge 1$, maka:
Untuk $n=1$: $3^1 < 8^{1+1} \implies 3 < 64$ (Benar)
Untuk $n=2$: $3^2 < 8^{2+1} \implies 9 < 512$ (Benar)
Untuk $n=3$: $3^3 < 8^{3+1} \implies 27 < 4096$ (Benar)

Jika soalnya adalah membuktikan $8^n < 3^{n+1}$ untuk $n \ge 3$:
Untuk $n=3$: $8^3 < 3^{3+1} \implies 512 < 3^4 \implies 512 < 81$ (Salah)

Jika soalnya adalah membuktikan $3^{n+1} < 8^n$ untuk $n \ge 3$:
Untuk $n=3$: $3^{3+1} < 8^3 \implies 3^4 < 8^3 \implies 81 < 512$ (Benar)
Asumsikan soal yang benar adalah membuktikan $3^{n+1} < 8^n$ untuk $n \ge 3$.

Basis Induksi (n=3):
$3^{3+1} < 8^3 
 3^4 < 512 
 81 < 512$ (Benar)

Langkah Induksi:
Asumsikan $3^{k+1} < 8^k$ benar untuk suatu bilangan asli $k \ge 3$. Kita perlu membuktikan $3^{(k+1)+1} < 8^{k+1}$, yaitu $3^{k+2} < 8^{k+1}$.

Dari asumsi induksi, kita punya $3^{k+1} < 8^k$.
Kalikan kedua sisi dengan 3:
$3 	imes 3^{k+1} < 3 	imes 8^k$
$3^{k+2} < 3 	imes 8^k$

Kita tahu bahwa $3 	imes 8^k < 8 	imes 8^k = 8^{k+1}$.
Jadi, $3^{k+2} < 3 	imes 8^k < 8^{k+1}$.
Ini membuktikan bahwa $3^{k+2} < 8^{k+1}$.

Kesimpulan: Dengan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa $3^{n+1} < 8^n$ untuk setiap bilangan asli $n \ge 3$.