Buktikan bahwa limit x->0

Limit terbukti benar menggunakan Aturan L'Hôpital atau dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^{1/2} - (2-x)^{1/2}}{x} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ (atau $\frac{1}{2}(2^{1/2})$).

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena substitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital. Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit yang terakhir ada.

Misalkan $f(x) = (2+x)^{1/2} - (2-x)^{1/2}$ dan $g(x) = x$.

Turunan dari $f(x)$ terhadap $x$ adalah:
$f'(x) = \frac{d}{dx}((2+x)^{1/2}) - \frac{d}{dx}((2-x)^{1/2})$
$f'(x) = \frac{1}{2}(2+x)^{-1/2}(1) - \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2}(-1)$
$f'(x) = \frac{1}{2}(2+x)^{-1/2} + \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2}$

Turunan dari $g(x)$ terhadap $x$ adalah:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

Sekarang, kita terapkan Aturan L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}(2+x)^{-1/2} + \frac{1}{2}(2-x)^{-1/2}}{1}$
Substitusikan $x=0$:
$= \frac{1}{2}(2+0)^{-1/2} + \frac{1}{2}(2-0)^{-1/2}$
$= \frac{1}{2}(2)^{-1/2} + \frac{1}{2}(2)^{-1/2}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Metode 2: Mengalikan dengan Bentuk Sekawan
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang, yaitu $(2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^{1/2} - (2-x)^{1/2}}{x} \times \frac{(2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2}}{(2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{((2+x)^{1/2})^2 - ((2-x)^{1/2})^2}{x((2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(2+x) - (2-x)}{x((2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2+x - 2+x}{x((2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x((2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2})}$

Kita bisa membatalkan $x$ di pembilang dan penyebut (karena $x \to 0$, $x \neq 0$):
$= \lim_{x \to 0} \frac{2}{(2+x)^{1/2} + (2-x)^{1/2}}$

Sekarang, substitusikan $x=0$:
$= \frac{2}{(2+0)^{1/2} + (2-0)^{1/2}}$
$= \frac{2}{2^{1/2} + 2^{1/2}}$
$= \frac{2}{2 	imes 2^{1/2}}$
$= \frac{1}{2^{1/2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pernyataan dalam soal $\frac{1}{2}(2^{1/2})$ adalah sama dengan $\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

**Bukti:**
$\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^{1/2} - (2-x)^{1/2}}{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{2}(2^{1/2})$.

Hasilnya terbukti benar.