Buktikan bahwa: limit x->0 (tan 3x-tan 3x cos 2x)/4x^3=3/2

Limitnya adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk membuktikan limit x→0 (tan 3x - tan 3x cos 2x) / 4x³ = 3/2, kita dapat menggunakan manipulasi aljabar dan identitas trigonometri:

1. Faktorkan tan 3x:
   lim x→0 [tan 3x (1 - cos 2x)] / 4x³

2. Gunakan identitas 1 - cos 2x = 2 sin² x:
   lim x→0 [tan 3x (2 sin² x)] / 4x³

3. Ubah tan 3x menjadi sin 3x / cos 3x:
   lim x→0 [(sin 3x / cos 3x) (2 sin² x)] / 4x³

4. Pisahkan limit dan susun ulang:
   lim x→0 [2 sin 3x sin² x] / [4x³ cos 3x]
   = lim x→0 (1/2) * (sin 3x / x) * (sin x / x)² * (1 / cos 3x)

5. Gunakan sifat limit lim x→0 (sin ax / ax) = 1:
   lim x→0 (sin 3x / x) = 3
   lim x→0 (sin x / x) = 1
   lim x→0 (1 / cos 3x) = 1 / cos 0 = 1/1 = 1

6. Substitusikan nilai limit:
   (1/2) * 3 * (1)² * 1 = 3/2

Jadi, terbukti bahwa limit x→0 (tan 3x - tan 3x cos 2x) / 4x³ = 3/2.