Buktikan bahwa pernyataan di bawah ini benar untuk n

Pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli n menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 3+9+13+..+(4n-1) = 2n² + n benar untuk semua bilangan asli n, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri adalah 3. Sisi kanan adalah 2(1)² + 1 = 2 + 1 = 3. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k, yaitu 3+9+13+..+(4k-1) = 2k² + k.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k+1. Sisi kiri untuk n=k+1 adalah:
3+9+13+..+(4k-1) + (4(k+1)-1)
= (2k² + k) + (4k + 4 - 1)  (menggunakan asumsi induksi)
= 2k² + k + 4k + 3
= 2k² + 5k + 3

Sekarang, kita evaluasi sisi kanan untuk n=k+1:
2(k+1)² + (k+1)
= 2(k² + 2k + 1) + k + 1
= 2k² + 4k + 2 + k + 1
= 2k² + 5k + 3

Karena sisi kiri dan sisi kanan sama untuk n=k+1, maka pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli n.