Fungsi f(x) = 12/(1 - 2 cos 2x) dengan selang 0 < x < 2 pi

Nilai terbesar dari a + (4x1)/π adalah 10.

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 12 / (1 - 2 cos 2x).
Untuk mencari nilai maksimum, kita perlu mencari turunan pertama f(x) dan menyetelnya sama dengan nol.

Pertama, mari kita cari turunan f(x) menggunakan aturan rantai:
f'(x) = d/dx [12 * (1 - 2 cos 2x)^(-1)]
f'(x) = 12 * (-1) * (1 - 2 cos 2x)^(-2) * d/dx [1 - 2 cos 2x]
f'(x) = -12 * (1 - 2 cos 2x)^(-2) * (-2 * (-sin 2x) * 2)
f'(x) = -12 * (1 - 2 cos 2x)^(-2) * (4 sin 2x)
f'(x) = -48 sin 2x / (1 - 2 cos 2x)²

Untuk mencari nilai maksimum, kita setel f'(x) = 0:
-48 sin 2x / (1 - 2 cos 2x)² = 0
Ini berarti sin 2x = 0.
Dalam selang 0 < x < 2π, maka 0 < 2x < 4π.
Nilai 2x di mana sin 2x = 0 adalah 2x = π, 2π, 3π.
Maka, x = π/2, π, 3π/2.

Sekarang kita perlu memeriksa nilai f(x) pada titik-titik kritis ini dan juga mendekati batas selang untuk menentukan nilai maksimum.

Ketika cos 2x mendekati 1/2 (yaitu 1 - 2 cos 2x mendekati 0), nilai f(x) akan mendekati tak terhingga. Ini terjadi ketika 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3. Sehingga x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.

Mari kita evaluasi f(x) pada titik-titik kritis:
Jika x = π/2, cos(2x) = cos(π) = -1. f(π/2) = 12 / (1 - 2(-1)) = 12 / 3 = 4.
Jika x = π, cos(2x) = cos(2π) = 1. f(π) = 12 / (1 - 2(1)) = 12 / (-1) = -12.
Jika x = 3π/2, cos(2x) = cos(3π) = -1. f(3π/2) = 12 / (1 - 2(-1)) = 12 / 3 = 4.

Nilai maksimum terjadi ketika penyebut (1 - 2 cos 2x) adalah positif terkecil. Ini terjadi ketika cos 2x mendekati 1/2 dari sisi yang lebih kecil (positif), yaitu ketika 2x mendekati π/3 atau 5π/3.

Jika 2x mendekati π/3, maka x mendekati π/6. cos(2x) mendekati 1/2. Penyebut mendekati 0 dari sisi positif. f(x) mendekati +∞.
Jika 2x mendekati 5π/3, maka x mendekati 5π/6. cos(2x) mendekati 1/2. Penyebut mendekati 0 dari sisi positif. f(x) mendekati +∞.

Namun, pertanyaan menanyakan nilai terbesar a + (4x1)/π, yang menyiratkan ada nilai maksimum tertentu. Mari kita periksa kembali turunan.

Kita perlu mencari kapan f(x) mencapai nilai maksimum. Nilai f(x) akan maksimum ketika penyebut (1 - 2 cos 2x) adalah positif terkecil. Ini terjadi ketika cos 2x adalah positif dan mendekati 1/2.

Dalam selang 0 < x < 2π, nilai cos 2x = 1/2 terjadi ketika 2x = π/3 dan 2x = 5π/3. Jadi, x = π/6 dan x = 5π/6.

Mari kita periksa nilai f(x) di sekitar titik-titik ini:
Untuk x sedikit lebih besar dari π/6, 2x sedikit lebih besar dari π/3. cos(2x) sedikit lebih kecil dari 1/2. Maka 1 - 2 cos 2x adalah positif dan lebih besar dari 0. Nilai f(x) positif.
Untuk x sedikit lebih kecil dari π/6, 2x sedikit lebih kecil dari π/3. cos(2x) sedikit lebih besar dari 1/2. Maka 1 - 2 cos 2x adalah negatif. Nilai f(x) negatif.

Untuk x sedikit lebih besar dari 5π/6, 2x sedikit lebih besar dari 5π/3. cos(2x) sedikit lebih kecil dari 1/2. Maka 1 - 2 cos 2x adalah positif dan lebih besar dari 0. Nilai f(x) positif.
Untuk x sedikit lebih kecil dari 5π/6, 2x sedikit lebih kecil dari 5π/3. cos(2x) sedikit lebih besar dari 1/2. Maka 1 - 2 cos 2x adalah negatif. Nilai f(x) negatif.

Nilai maksimum akan terjadi ketika penyebutnya positif dan sekecil mungkin. Ini terjadi ketika cos 2x = 1/2. Namun, pada titik ini, penyebutnya adalah nol, yang berarti fungsinya tidak terdefinisi dan menuju tak hingga.

Ada kemungkinan bahwa soal ini mengacu pada nilai maksimum lokal yang dicapai ketika turunan kedua negatif.

Mari kita lihat kembali nilai f(x) pada titik-titik kritis dari turunan: x = π/2, π, 3π/2.
f(π/2) = 4
f(π) = -12
f(3π/2) = 4

Nilai maksimum lokal yang mungkin adalah 4, yang dicapai pada x = π/2 dan x = 3π/2.

Jika kita menganggap x1 = π/2, maka a + (4x1)/π = a + (4(π/2))/π = a + 2.
Jika kita menganggap x1 = 3π/2, maka a + (4x1)/π = a + (4(3π/2))/π = a + 6.

Pertanyaan ini tampaknya memiliki ambiguitas karena fungsi mendekati tak terhingga. Namun, jika kita menginterpretasikan 'mencapai nilai maksimum pada beberapa titik x1' sebagai nilai maksimum lokal yang terdefinisi.

Misalkan x1 = π/2. Maka nilai a + (4x1)/π = a + (4 * π/2) / π = a + 2.
Jika nilai maksimum adalah 4, maka a = 4. Sehingga 4 + 2 = 6.

Misalkan x1 = 3π/2. Maka nilai a + (4x1)/π = a + (4 * 3π/2) / π = a + 6.
Jika nilai maksimum adalah 4, maka a = 4. Sehingga 4 + 6 = 10.

Karena pertanyaan meminta nilai terbesar a + (4x1)/π, kita ambil x1 = 3π/2.
Jika nilai maksimum f(x) adalah 4, maka a = 4. Maka nilai terbesar adalah 4 + (4 * 3π/2) / π = 4 + 6 = 10.