Buktikan bahwa (sin(a+b))/(cosacosb)=tana+tanb.

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus dan definisi tangen.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{\sin(a+b)}{\cos a \cos b} = \tan a + \tan b$, kita akan mulai dari sisi kiri persamaan dan mencoba mengubahnya menjadi sisi kanan.

Identitas penjumlahan sinus adalah: $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

Substitusikan identitas ini ke dalam sisi kiri persamaan:
$$ \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} $$ 

Sekarang, kita bisa memisahkan pecahan menjadi dua bagian:
$$ \frac{\sin a \cos b}{\cos a \cos b} + \frac{\cos a \sin b}{\cos a \cos b} $$ 

Selanjutnya, kita bisa menyederhanakan setiap bagian dengan membatalkan suku-suku yang sama:

Di bagian pertama, $\cos b$ ada di pembilang dan penyebut, jadi bisa dibatalkan:
$$ \frac{\sin a}{\cos a} $$ 

Di bagian kedua, $\cos a$ ada di pembilang dan penyebut, jadi bisa dibatalkan:
$$ \frac{\sin b}{\cos b} $$ 

Kita tahu bahwa $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. Oleh karena itu:
$$ \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a $$ 
dan
$$ \frac{\sin b}{\cos b} = \tan b $$ 

Jadi, persamaan menjadi:
$$ \tan a + \tan b $$ 

Ini adalah sisi kanan dari identitas yang ingin kita buktikan. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $\frac{\sin(a+b)}{\cos a \cos b} = \tan a + \tan b$.