Buktikan dengan menggunakan induksi matematika.

Pernyataan terbukti benar melalui basis induksi (n=1) dan langkah induksi, di mana penambahan suku ke-(k+1) menghasilkan bentuk yang sesuai.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = 1/4n^2(n+1)^2 dengan induksi matematika, kita akan melalui tiga langkah:

1. **Basis Induksi:** Periksa apakah pernyataan tersebut berlaku untuk n=1.
   Untuk n=1, sisi kiri adalah 1^3 = 1.
   Sisi kanan adalah 1/4(1^2)(1+1)^2 = 1/4(1)(2^2) = 1/4(4) = 1.
   Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan berlaku untuk n=1.

2. **Hipotesis Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
   1^3+2^3+3^3+...+k^3 = 1/4k^2(k+1)^2

3. **Langkah Induksi:** Buktikan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk n=k+1, dengan menggunakan hipotesis induksi.
   Kita ingin membuktikan bahwa: 1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3 = 1/4(k+1)^2((k+1)+1)^2
   1/4(k+1)^2(k+2)^2

   Mulai dari sisi kiri:
   (1^3+2^3+3^3+...+k^3) + (k+1)^3

   Gunakan hipotesis induksi untuk mengganti bagian dalam kurung:
   [1/4k^2(k+1)^2] + (k+1)^3

   Keluarkan faktor umum (k+1)^2:
   (k+1)^2 [1/4k^2 + (k+1)]

   Samakan penyebut di dalam kurung siku:
   (k+1)^2 [1/4k^2 + 4(k+1)/4]
   (k+1)^2 [1/4k^2 + 4k+4 / 4]
   (k+1)^2 [1/4 (k^2+4k+4)]

   Faktorkan ekspresi kuadrat di dalam kurung:
   (k+1)^2 [1/4 (k+2)^2]

   Susun ulang:
   1/4 (k+1)^2 (k+2)^2

   Ini sama dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan.

   Karena langkah basis induksi dan langkah induksi terpenuhi, maka pernyataan 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = 1/4n^2(n+1)^2 berlaku untuk semua bilangan bulat positif n.