Buktikan identitas:a. cosec^2 theta-2 cosec theta cotan

Identitas terbukti dengan manipulasi aljabar menggunakan definisi trigonometri dan identitas dasar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri ini, kita akan menggunakan definisi fungsi trigonometri dasar dan identitas yang diketahui.

a. Buktikan: cosec^2 theta - 2 cosec theta cotan theta + cotan^2 theta = (1 - cos theta) / (1 + cos theta)

Kita mulai dari sisi kiri:
cosec^2 theta - 2 cosec theta cotan theta + cotan^2 theta
Ini adalah bentuk kuadrat sempurna: (cosec theta - cotan theta)^2
Ganti cosec theta dengan 1/sin theta dan cotan theta dengan cos theta/sin theta:
(1/sin theta - cos theta/sin theta)^2
= ((1 - cos theta) / sin theta)^2
= (1 - cos theta)^2 / sin^2 theta
Gunakan identitas sin^2 theta + cos^2 theta = 1, sehingga sin^2 theta = 1 - cos^2 theta:
= (1 - cos theta)^2 / (1 - cos^2 theta)
Faktorkan penyebut sebagai selisih kuadrat (1 - cos theta)(1 + cos theta):
= (1 - cos theta)^2 / ((1 - cos theta)(1 + cos theta))
Batalkan satu faktor (1 - cos theta) dari pembilang dan penyebut:
= (1 - cos theta) / (1 + cos theta)
Ini membuktikan sisi kanan identitas.

b. Buktikan: (cos A cotan A - sin A tan A) / (cosec A - sec A) = 1 + cos A sin A

Kita mulai dari sisi kiri:
(cos A cotan A - sin A tan A) / (cosec A - sec A)
Ganti cotan A = cos A/sin A, tan A = sin A/cos A, cosec A = 1/sin A, sec A = 1/cos A:
= (cos A * (cos A/sin A) - sin A * (sin A/cos A)) / (1/sin A - 1/cos A)
= (cos^2 A/sin A - sin^2 A/cos A) / ((cos A - sin A) / (sin A cos A))
Samakan penyebut di pembilang:
= ((cos^3 A - sin^3 A) / (sin A cos A)) / ((cos A - sin A) / (sin A cos A))
Kalikan dengan kebalikan dari penyebut pecahan besar:
= (cos^3 A - sin^3 A) / (sin A cos A) * (sin A cos A) / (cos A - sin A)
= (cos^3 A - sin^3 A) / (cos A - sin A)
Gunakan rumus selisih kubus: x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2):
= (cos A - sin A)(cos^2 A + cos A sin A + sin^2 A) / (cos A - sin A)
Batalkan (cos A - sin A):
= cos^2 A + cos A sin A + sin^2 A
Gunakan identitas cos^2 A + sin^2 A = 1:
= 1 + cos A sin A
Ini membuktikan sisi kanan identitas.