buktikan identitas yang diberikan! (cos(x+y) +

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan sinus serta kosinus, yang menghasilkan $(\cos x \cos y) / (\sin x \cos y)$ yang disederhanakan menjadi $\cot x$.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $(\cos(x+y) + \cos(x-y))/(\sin(x+y) + \sin(x-y)) = \cot x$, kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan untuk sinus dan kosinus:

Rumus yang relevan adalah:
- $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
- $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Mari kita terapkan rumus-rumus ini pada pembilang dan penyebut:

Pembilang: $\cos(x+y) + \cos(x-y)$
$= (\cos x \cos y - \sin x \sin y) + (\cos x \cos y + \sin x \sin y)$
$= \cos x \cos y - \sin x \sin y + \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$= 2 \cos x \cos y$

Penyebut: $\sin(x+y) + \sin(x-y)$
$= (\sin x \cos y + \cos x \sin y) + (\sin x \cos y - \cos x \sin y)$
$= \sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y$
$= 2 \sin x \cos y$

Sekarang, mari kita masukkan kembali ke dalam persamaan awal:
$(\cos(x+y) + \cos(x-y))/(\sin(x+y) + \sin(x-y)) = (2 \cos x \cos y) / (2 \sin x \cos y)$

Kita bisa membatalkan $2$ dan $\cos y$ dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi $\cos y \neq 0$):
$= \cos x / \sin x$
$= \cot x$

Identitas terbukti.