Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika P

Jarak titik P ke bidang BDG adalah $2\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $a$. Dalam soal ini, $a = 4$ cm.
Titik P adalah titik tengah EH.
Kita perlu mencari jarak titik P ke bidang BDG.

Untuk mempermudah perhitungan, kita bisa menggunakan sistem koordinat:
Misalkan titik D = (0, 0, 0).
Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (4, 0, 0)
B = (4, 4, 0)
C = (0, 4, 0)
G = (0, 4, 4)
H = (0, 0, 4)
E = (4, 0, 4)

Karena P adalah titik tengah EH, koordinat P adalah:
P = ((4+0)/2, (0+0)/2, (4+4)/2) = (2, 0, 4)

Sekarang kita perlu mencari persamaan bidang BDG.
Titik B = (4, 4, 0)
Titik D = (0, 0, 0)
Titik G = (0, 4, 4)

Persamaan bidang dapat dicari dengan menggunakan vektor normal. Misalkan $\vec{DB} = B - D = (4, 4, 0)$ dan $\vec{DG} = G - D = (0, 4, 4)$.
Vektor normal bidang (n) adalah hasil perkalian silang $\vec{DB} \times \vec{DG}$:
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = i(16-0) - j(16-0) + k(16-0) = 16i - 16j + 16k = (16, -16, 16)$
Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (1, -1, 1).

Persamaan bidang BDG yang melalui titik D(0, 0, 0) dengan vektor normal (1, -1, 1) adalah:
$1(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$
$x - y + z = 0$

Jarak dari titik P(2, 0, 4) ke bidang $x - y + z = 0$ dihitung dengan rumus:
Jarak = $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$
Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = (2, 0, 4)$ dan A=1, B=-1, C=1, D=0.
Jarak = $|1(2) - 1(0) + 1(4) + 0| / \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}$
Jarak = $|2 - 0 + 4| / \sqrt{1 + 1 + 1}$
Jarak = $|6| / \sqrt{3}$
Jarak = $6 / \sqrt{3}$
Untuk merasionalkan penyebutnya, kalikan dengan $\sqrt{3}/\sqrt{3}$:
Jarak = $(6 \sqrt{3}) / 3$
Jarak = $2 \sqrt{3}$ cm.

Jadi, jarak titik P ke bidang BDG adalah $2 \sqrt{3}$ cm.