Buktikan!integral[f(x)-g(x)] dx=integral f(x) dx-integral

Identitas integral terbukti dengan menunjukkan bahwa turunan dari F(x) - G(x) adalah f(x) - g(x), yang sesuai dengan definisi integral.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas integral [f(x)-g(x)] dx = integral f(x) dx - integral g(x) dx, kita dapat menggunakan definisi anti-turunan.

Misalkan F(x) adalah anti-turunan dari f(x), yang berarti F'(x) = f(x).
Misalkan G(x) adalah anti-turunan dari g(x), yang berarti G'(x) = g(x).

Menurut sifat dasar kalkulus, jika F(x) adalah anti-turunan dari f(x) dan G(x) adalah anti-turunan dari g(x), maka F(x) - G(x) adalah anti-turunan dari f(x) - g(x). Ini karena turunan dari selisih dua fungsi adalah selisih dari turunan masing-masing fungsi:

d/dx [F(x) - G(x)] = d/dx [F(x)] - d/dx [G(x)]

Karena F'(x) = f(x) dan G'(x) = g(x), maka:

d/dx [F(x) - G(x)] = f(x) - g(x)

Ini menunjukkan bahwa F(x) - G(x) adalah sebuah anti-turunan dari f(x) - g(x). Oleh karena itu, integral tak tentu dari [f(x) - g(x)] dapat ditulis sebagai:

integral [f(x) - g(x)] dx = F(x) - G(x) + C

Di mana C adalah konstanta integrasi.

Kita juga tahu bahwa:
integral f(x) dx = F(x) + C1
integral g(x) dx = G(x) + C2

Maka:

integral f(x) dx - integral g(x) dx = (F(x) + C1) - (G(x) + C2)
= F(x) - G(x) + (C1 - C2)

Karena C1 dan C2 adalah konstanta sembarang, maka C1 - C2 juga merupakan sebuah konstanta sembarang, yang bisa kita sebut sebagai C.

Jadi, integral f(x) dx - integral g(x) dx = F(x) - G(x) + C.

Karena kedua ekspresi tersebut sama (yaitu, F(x) - G(x) + C), maka terbukti bahwa integral[f(x)-g(x)] dx = integral f(x) dx - integral g(x) dx.