Buktikan pernyataan di bawah ini menggunakan induksi

Pernyataan terbukti benar untuk n=3, dan jika diasumsikan benar untuk n=k, maka terbukti benar untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $(n+1)^2 < 2n^2$ untuk setiap $n \ge 3$ menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Basis Induksi:** Periksa apakah pernyataan benar untuk nilai awal $n=3$.
    Untuk $n=3$: $(3+1)^2 = 4^2 = 16$. Dan $2n^2 = 2(3^2) = 2(9) = 18$.
    Karena $16 < 18$, maka pernyataan benar untuk $n=3$.

2.  **Hipotesis Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat sembarang $k \ge 3$. Yaitu, asumsikan $(k+1)^2 < 2k^2$.

3.  **Langkah Induksi:** Buktikan bahwa pernyataan benar untuk $n=k+1$. Yaitu, buktikan bahwa $(k+1+1)^2 < 2(k+1)^2$, atau $(k+2)^2 < 2(k+1)^2$.
    Kita mulai dari $(k+2)^2$:
    $(k+2)^2 = (k+1+1)^2 = ((k+1)+1)^2$
    Kita tahu dari hipotesis induksi bahwa $(k+1)^2 < 2k^2$. Kita ingin menunjukkan bahwa $(k+2)^2 < 2(k+1)^2$.

    Mari kita manipulasi ekspresi yang ingin kita buktikan:
    $2(k+1)^2 = 2(k^2 + 2k + 1) = 2k^2 + 4k + 2$.

    Sekarang, mari kita lihat $(k+2)^2$:
    $(k+2)^2 = k^2 + 4k + 4$.

    Kita perlu menunjukkan bahwa $k^2 + 4k + 4 < 2k^2 + 4k + 2$.
    Ini setara dengan menunjukkan $k^2 + 2 > 0$ setelah mengurangi $4k$ dari kedua sisi dan membandingkan sisanya.
    $k^2 + 4k + 4 < 2k^2 + 4k + 2$
    $4 < k^2 + 2$
    $2 < k^2$

    Karena kita mengasumsikan $n \ge 3$, maka $k \ge 3$. Jika $k \ge 3$, maka $k^2 \ge 9$. Jelas bahwa $k^2 > 2$ untuk semua $k \ge 3$.

    Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa jika $(k+1)^2 < 2k^2$, maka $(k+2)^2 < 2(k+1)^2$.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan $(n+1)^2 < 2n^2$ benar untuk setiap $n \ge 3$.