Buktikan pernyataan matematis berupa barisan berikut dengan

Pernyataan terbukti benar dengan induksi matematika setelah menunjukkan basis induksi untuk n=1 dan langkah induksi untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan matematis $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$ dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah utama:

1. **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n terkecil, biasanya n=1.
   Untuk n=1, sisi kiri adalah $\frac{1}{(3(1)-1)(3(1)+2)} = \frac{1}{(2)(5)} = \frac{1}{10}$.
   Sisi kanan adalah $\frac{1}{6(1)+4} = \frac{1}{10}$.
   Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

2. **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k (hipotesis induksi), yaitu:
   $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{k}{6k+4}$

   Kemudian, tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Kita perlu membuktikan:
   $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)} = \frac{k+1}{6(k+1)+4}$

   Mari kita mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
   $$ \left( \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} \right) + \frac{1}{(3k+3-1)(3k+3+2)} $$ 
   $$ = \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Sekarang, kita samakan penyebutnya:
   $$ = \frac{k(3k+5)}{(6k+4)(3k+5)} + \frac{6k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{3k^2+5k+6k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{3k^2+11k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ 
   Faktorkan pembilangnya:
   $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{(6k+4)(3k+5)} $$ 
   Kita tahu bahwa $6k+4 = 2(3k+2)$. Jadi,
   $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+2}{2(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+2}{6k+10} $$ 
   Sekarang, mari kita lihat sisi kanan yang ingin kita capai untuk n=k+1:
   $$ \frac{k+1}{6(k+1)+4} = \frac{k+1}{6k+6+4} = \frac{k+1}{6k+10} $$ 
   Ternyata ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita perbaiki langkah penyamaan penyebut:

   Kita memiliki $\frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$.
   Perhatikan bahwa $6k+4 = 2(3k+2)$. Jadi, kita bisa menulisnya sebagai:
   $$ \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Samakan penyebutnya:
   $$ = \frac{k(3k+5)}{2(3k+2)(3k+5)} + \frac{2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{3k^2+5k+2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Faktorkan pembilangnya:
   $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+2}{2(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+2}{6k+10} $$ 
   Ini sama dengan bentuk yang kita inginkan untuk n=k+1, yaitu $\frac{k+1}{6(k+1)+4} = \frac{k+1}{6k+10}$.

   Ada kesalahan dalam faktorisasi atau penyesuaian aljabar sebelumnya. Mari kita kembali ke:
   $$ \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Kita ingin mencapai $\frac{k+1}{6k+10}$.
   $$ \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Samakan penyebutnya menjadi $2(3k+2)(3k+5)$:
   $$ \frac{k(3k+5)}{2(3k+2)(3k+5)} + \frac{2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{3k^2+5k+2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   Pembilang: $3k^2+5k+2$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $3 \times 2 = 6$ dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Maka, $3k^2+2k+3k+2 = k(3k+2)+1(3k+2) = (k+1)(3k+2)$.
   Jadi, ekspresinya menjadi:
   $$ \frac{(k+1)(3k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+1}{2(3k+5)} $$ 
   $$ = \frac{k+1}{6k+10} $$ 
   Ini adalah bentuk $\frac{k+1}{6(k+1)+4}$.

   Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka pernyataan tersebut terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika.

**Kesimpulan:** Pernyataan tersebut terbukti benar dengan induksi matematika.