Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathInduksi Matematika

Buktikan pernyataan matematis berupa barisan berikut dengan

Pertanyaan

Buktikan pernyataan matematis berikut dengan induksi matematika: 1/(2.5) + 1/(5.8) + 1/(8.11) + ... + 1/(3n-1)(3n+2) = n/(6n+4)

Solusi

Verified

Pernyataan terbukti benar dengan induksi matematika setelah menunjukkan basis induksi untuk n=1 dan langkah induksi untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan matematis $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$ dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah utama: 1. **Basis Induksi:** Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n terkecil, biasanya n=1. Untuk n=1, sisi kiri adalah $\frac{1}{(3(1)-1)(3(1)+2)} = \frac{1}{(2)(5)} = \frac{1}{10}$. Sisi kanan adalah $\frac{1}{6(1)+4} = \frac{1}{10}$. Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1. 2. **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k (hipotesis induksi), yaitu: $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{k}{6k+4}$ Kemudian, tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Kita perlu membuktikan: $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)} = \frac{k+1}{6(k+1)+4}$ Mari kita mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi: $$ \left( \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} \right) + \frac{1}{(3k+3-1)(3k+3+2)} $$ $$ = \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ Sekarang, kita samakan penyebutnya: $$ = \frac{k(3k+5)}{(6k+4)(3k+5)} + \frac{6k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ $$ = \frac{3k^2+5k+6k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ $$ = \frac{3k^2+11k+4}{(6k+4)(3k+5)} $$ Faktorkan pembilangnya: $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{(6k+4)(3k+5)} $$ Kita tahu bahwa $6k+4 = 2(3k+2)$. Jadi, $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+2}{2(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+2}{6k+10} $$ Sekarang, mari kita lihat sisi kanan yang ingin kita capai untuk n=k+1: $$ \frac{k+1}{6(k+1)+4} = \frac{k+1}{6k+6+4} = \frac{k+1}{6k+10} $$ Ternyata ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita perbaiki langkah penyamaan penyebut: Kita memiliki $\frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$. Perhatikan bahwa $6k+4 = 2(3k+2)$. Jadi, kita bisa menulisnya sebagai: $$ \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ Samakan penyebutnya: $$ = \frac{k(3k+5)}{2(3k+2)(3k+5)} + \frac{2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ $$ = \frac{3k^2+5k+2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ Faktorkan pembilangnya: $$ = \frac{(3k+2)(k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+2}{2(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+2}{6k+10} $$ Ini sama dengan bentuk yang kita inginkan untuk n=k+1, yaitu $\frac{k+1}{6(k+1)+4} = \frac{k+1}{6k+10}$. Ada kesalahan dalam faktorisasi atau penyesuaian aljabar sebelumnya. Mari kita kembali ke: $$ \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ Kita ingin mencapai $\frac{k+1}{6k+10}$. $$ \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} $$ Samakan penyebutnya menjadi $2(3k+2)(3k+5)$: $$ \frac{k(3k+5)}{2(3k+2)(3k+5)} + \frac{2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ $$ = \frac{3k^2+5k+2}{2(3k+2)(3k+5)} $$ Pembilang: $3k^2+5k+2$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya $3 \times 2 = 6$ dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Bilangan tersebut adalah 2 dan 3. Maka, $3k^2+2k+3k+2 = k(3k+2)+1(3k+2) = (k+1)(3k+2)$. Jadi, ekspresinya menjadi: $$ \frac{(k+1)(3k+2)}{2(3k+2)(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+1}{2(3k+5)} $$ $$ = \frac{k+1}{6k+10} $$ Ini adalah bentuk $\frac{k+1}{6(k+1)+4}$. Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka pernyataan tersebut terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika. **Kesimpulan:** Pernyataan tersebut terbukti benar dengan induksi matematika.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Pembuktian
Section: Pembuktian Barisan

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...