Buktikan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan

Pernyataan tersebut tidak terbukti karena kemungkinan ada kesalahan pada soal.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} = \frac{3 - 3^{1-n}}{2}$ menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Sisi kiri: $1 = 1$
Sisi kanan: $\frac{3 - 3^{1-1}}{2} = \frac{3 - 3^0}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^k} = \frac{3 - 3^{1-k}}{2}$

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Kita harus menunjukkan bahwa:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^k} + \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{3 - 3^{1-(k+1)}}{2}$

Mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
$ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^k}) + \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{3 - 3^{1-k}}{2} + \frac{1}{3^{k+1}} $
Samakan penyebutnya:
$= \frac{(3 - 3^{1-k}) \cdot 3^{k+1}}{2 \cdot 3^{k+1}} + \frac{2}{2 \cdot 3^{k+1}} $
$= \frac{3 \cdot 3^{k+1} - 3^{1-k} \cdot 3^{k+1} + 2}{2 \cdot 3^{k+1}} $
$= \frac{3^{k+2} - 3^{(1-k) + (k+1)} + 2}{2 \cdot 3^{k+1}} $
$= \frac{3^{k+2} - 3^2 + 2}{2 \cdot 3^{k+1}} $
$= \frac{3^{k+2} - 9 + 2}{2 \cdot 3^{k+1}} $
$= \frac{3^{k+2} - 7}{2 \cdot 3^{k+1}} $

Terjadi kesalahan dalam soal asli atau dalam penurunan. Mari kita cek kembali rumus barisan deretnya. Sepertinya deret yang dimaksud adalah deret geometri $1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n$. Jika demikian, maka:
$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{1(1-(1/3)^n)}{1-1/3} = \frac{1 - (1/3)^n}{2/3} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$

Rumus yang diberikan dalam soal tampaknya tidak sesuai dengan deret geometri standar. Jika kita mengasumsikan deretnya adalah $1/1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n$, maka $S_n = \frac{1(1-(1/2)^n)}{1-1/2} = \frac{1-1/2^n}{1/2} = 2(1-1/2^n) = 2 - 2/2^n = 2 - 1/2^{n-1}$.

Jika kita mengikuti soal persis seperti yang tertulis dan mengasumsikan ada kesalahan pengetikan pada basisnya (seharusnya 3, bukan 2 atau 9 di penyebut):
$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} = \frac{3 - 3^{1-n}}{2}$

Langkah 1 (n=1): $1 = \frac{3 - 3^{1-1}}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$. Benar.
Langkah 2: Asumsikan benar untuk k.
Langkah 3: Buktikan untuk k+1.
$S_k + \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{3 - 3^{1-k}}{2} + \frac{1}{3^{k+1}}$
$= \frac{(3 - 3^{1-k})3^{k+1} + 2}{2 \cdot 3^{k+1}}$
$= \frac{3^{k+2} - 3^1 + 2}{2 \cdot 3^{k+1}}$
$= \frac{3^{k+2} - 1}{2 \cdot 3^{k+1}}$
Ini juga tidak sama dengan $\frac{3 - 3^{1-(k+1)}}{2} = \frac{3 - 3^{-k}}{2} = \frac{3 - 1/3^k}{2} = \frac{3^{k+1}-1}{2 \cdot 3^k}$.

Kesimpulan: Pernyataan yang diberikan dalam soal kemungkinan mengandung kesalahan pengetikan atau tidak merepresentasikan deret yang umum dikenal. Dengan asumsi deretnya adalah $1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3^n$, maka rumus jumlahnya adalah $\frac{3}{2}(1 - (1/3)^n)$. Jika kita harus membuktikan rumus yang diberikan, perlu klarifikasi lebih lanjut mengenai deret yang dimaksud.