Buktikan persamaan-persamaan berikut. cos(x+y)

Terbukti dengan menggunakan identitas penjumlahan/pengurangan cosinus dan identitas dasar sin²θ + cos²θ = 1.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas trigonometri: cos(x+y) cos(x-y) = cos²x - sin²y.

**Langkah 1: Gunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk cosinus.**
*   Identitas penjumlahan: cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB
*   Identitas pengurangan: cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

Menerapkan ini pada sisi kiri persamaan:
*   cos(x + y) = cosx cosy - sinx siny
*   cos(x - y) = cosx cosy + sinx siny

**Langkah 2: Kalikan kedua ekspresi tersebut.**
*   cos(x + y) cos(x - y) = (cosx cosy - sinx siny) (cosx cosy + sinx siny)

Ini adalah bentuk (a - b)(a + b) = a² - b², di mana:
*   a = cosx cosy
*   b = sinx siny

Maka, hasil perkaliannya adalah:
*   = (cosx cosy)² - (sinx siny)²
*   = cos²x cos²y - sin²x sin²y

**Langkah 3: Ubah ekspresi agar sesuai dengan sisi kanan (cos²x - sin²y).**
Kita perlu menggunakan identitas dasar trigonometri: sin²θ + cos²θ = 1.
Dari identitas ini, kita dapat menurunkan:
*   cos²y = 1 - sin²y
*   sin²y = 1 - cos²y
*   cos²x = 1 - sin²x
*   sin²x = 1 - cos²x

Mari kita substitusikan cos²y = 1 - sin²y ke dalam hasil perkalian kita:
*   cos²x cos²y - sin²x sin²y
*   = cos²x (1 - sin²y) - sin²x sin²y
*   = cos²x - cos²x sin²y - sin²x sin²y

Sekarang, mari kita faktorkan sin²y dari dua suku terakhir:
*   = cos²x - sin²y (cos²x + sin²x)

Gunakan identitas cos²x + sin²x = 1:
*   = cos²x - sin²y (1)
*   = cos²x - sin²y

Ini sama dengan sisi kanan persamaan.

**Bukti Selesai.**
Kita telah menunjukkan bahwa cos(x+y) cos(x-y) sama dengan cos²x - sin²y dengan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan cosinus, serta identitas dasar trigonometri.