Cari semua tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi

(2, 2, 2)

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan berikut:
1. $x = y^3 + y - 8$
2. $y = z^3 + z - 8$
3. $z = x^3 + x - 8$

Kita mencari semua tripel bilangan real $(x, y, z)$ yang memenuhi sistem ini.

Mari kita definisikan fungsi $h(t) = t^3 + t - 8$. Maka sistem persamaan dapat ditulis sebagai:
1. $x = h(y)$
2. $y = h(z)$
3. $z = h(x)$

Perhatikan bahwa fungsi $h(t)$ adalah fungsi yang monoton naik. Kita dapat menunjukkannya dengan memeriksa turunannya:
$h'(t) = 3t^2 + 1$.
Karena $t^2 \ge 0$ untuk semua bilangan real $t$, maka $3t^2 \ge 0$. Akibatnya, $h'(t) = 3t^2 + 1 \ge 1 > 0$ untuk semua $t$. Karena turunannya selalu positif, fungsi $h(t)$ adalah monoton naik.

Sekarang, mari kita pertimbangkan kemungkinan hubungan antara $x, y, z$.

Kasus 1: $x = y = z$
Jika $x = y = z$, maka kita dapat mengganti $y$ dan $z$ dengan $x$ di salah satu persamaan. Misalnya, persamaan pertama menjadi:
$x = x^3 + x - 8$
$0 = x^3 - 8$
$x^3 = 8$
$x = 2$
Jadi, jika $x = y = z$, maka solusi tunggalnya adalah $(x, y, z) = (2, 2, 2)$.
Mari kita periksa apakah ini memenuhi semua persamaan:
$2 = 2^3 + 2 - 8 = 8 + 2 - 8 = 2$ (Memenuhi)
$2 = 2^3 + 2 - 8 = 8 + 2 - 8 = 2$ (Memenuhi)
$2 = 2^3 + 2 - 8 = 8 + 2 - 8 = 2$ (Memenuhi)

Kasus 2: $x, y, z$ tidak semuanya sama.

Asumsikan $x > y$. Karena $h(t)$ monoton naik:
Jika $x > y$, maka $h(x) > h(y)$.
Dari persamaan 3, $z = h(x)$. Dari persamaan 1, $x = h(y)$.
Maka, $z > x$.

Sekarang kita punya $z > x$. Karena $h(t)$ monoton naik:
Jika $z > x$, maka $h(z) > h(x)$.
Dari persamaan 2, $y = h(z)$. Dari persamaan 3, $z = h(x)$.
Maka, $y > z$.

Sekarang kita punya $y > z$. Karena $h(t)$ monoton naik:
Jika $y > z$, maka $h(y) > h(z)$.
Dari persamaan 1, $x = h(y)$. Dari persamaan 2, $y = h(z)$.
Maka, $x > y$.

Kita sampai pada kesimpulan bahwa jika $x > y$, maka $x > y$ (dari $y > z$ dan $z > x$ yang menghasilkan $y > x$, yang bertentangan dengan asumsi awal $x > y$). Ini berarti tidak mungkin ada urutan seperti $x > y$ atau $y > x$ atau $z > x$ jika $x, y, z$ tidak sama.

Lebih formalnya, jika kita mengasumsikan bahwa tidak semua $x, y, z$ sama, maka setidaknya salah satu dari $x > y$ atau $x < y$ harus berlaku. Misalkan $x 
e y$. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan $x > y$.
Karena $h$ monoton naik:
$x > y \\\implies h(x) > h(y)$\
Substitusi dari persamaan sistem:
$h(x) = z$ dan $h(y) = x$
Maka, $z > x$. 

Sekarang kita punya $z > x$. Karena $h$ monoton naik:
$z > x \
\\implies h(z) > h(x)$\
Substitusi dari persamaan sistem:
$h(z) = y$ dan $h(x) = z$
Maka, $y > z$. 

Sekarang kita punya $y > z$. Karena $h$ monoton naik:
$y > z \
\\implies h(y) > h(z)$\
Substitusi dari persamaan sistem:
$h(y) = x$ dan $h(z) = y$
Maka, $x > y$. 

Kita mendapatkan kontradiksi: asumsi awal $x > y$ menghasilkan $x > y$ melalui urutan $z > x$ dan $y > z$. Ini menunjukkan bahwa asumsi $x 
e y$ (dan oleh karena itu $x 
e y 
e z$) tidak dapat menghasilkan solusi.

Satu-satunya kemungkinan yang tersisa adalah $x = y = z$. Kita sudah menemukan bahwa solusi untuk kasus ini adalah $(2, 2, 2)$.

Oleh karena itu, satu-satunya tripel bilangan real $(x, y, z)$ yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah $(2, 2, 2)$.