Kelas 12Kelas 11mathGeometri Analitik
Carilah pasangan garis lurus (y= mx+ c)) dan lingkaran x^2+
Pertanyaan
Carilah kondisi kedudukan garis y = mx + c dan lingkaran x^2+ y^2+ Ax+ By+ C=0 yang saling bersinggungan, dan buktikan menggunakan nilai diskriminan (D).
Solusi
Verified
Garis dan lingkaran bersinggungan jika D = (2mc + A + Bm)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 + Bc + C) = 0.
Pembahasan
Kita akan mencari kedudukan garis `y = mx + c` dan lingkaran `x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0` yang saling bersinggungan, dan membuktikannya menggunakan nilai diskriminan (D). **Langkah-langkah:** 1. **Substitusi:** Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. `x^2 + (mx + c)^2 + Ax + B(mx + c) + C = 0` `x^2 + (m^2x^2 + 2mcx + c^2) + Ax + Bmx + Bc + C = 0` `x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 + Ax + Bmx + Bc + C = 0` 2. **Gabungkan suku-suku berdasarkan variabel x:** Kelompokkan suku-suku yang memiliki `x^2`, `x`, dan konstanta. `(1 + m^2)x^2 + (2mc + A + Bm)x + (c^2 + Bc + C) = 0` 3. **Identifikasi Koefisien:** Persamaan ini sekarang berbentuk persamaan kuadrat `ax^2 + bx + c = 0` (dalam konteks ini, a, b, c adalah koefisien, bukan dari persamaan garis). * `a = 1 + m^2` * `b = 2mc + A + Bm` * `c = c^2 + Bc + C` 4. **Gunakan Diskriminan (D):** Agar garis dan lingkaran saling bersinggungan, hanya ada satu titik potong. Ini berarti persamaan kuadrat yang dihasilkan harus memiliki tepat satu solusi nyata, yang terjadi ketika diskriminan (D) sama dengan nol. Rumus diskriminan adalah `D = b^2 - 4ac`. Kita tetapkan `D = 0`: `(2mc + A + Bm)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 + Bc + C) = 0` Ini adalah kondisi yang harus dipenuhi oleh `m`, `c`, `A`, `B`, dan `C` agar garis `y = mx + c` bersinggungan dengan lingkaran `x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0`. **Kesimpulan:** Kedudukan garis `y = mx + c` dan lingkaran `x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0` saling bersinggungan jika dan hanya jika diskriminan dari persamaan kuadrat hasil substitusi adalah nol, yaitu `(2mc + A + Bm)^2 - 4(1 + m^2)(c^2 + Bc + C) = 0`.
Topik: Kedudukan Garis Dan Lingkaran
Section: Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?