D C P R Q A BDiberikan trapezium ABCD dengan AB sejajar DC.

AB/DC = 12

Pembahasan

Trapezium ABCD memiliki sisi AB yang sejajar dengan DC. Garis PQ sejajar AB, memotong diagonal BD di R. Perbandingan DP : PA = 2 : 3, dan PR/RQ = 8. Kita perlu mencari perbandingan AB/DC.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan teorema kesebangunan segitiga.

Perhatikan segitiga DPC dan segitiga APB. Karena PQ sejajar AB dan DC, maka segitiga DRP sebangun dengan segitiga ABP, dan segitiga CRQ sebangun dengan segitiga CAB.

Dari kesebangunan segitiga DRP dan ABP, kita punya:
DR/DB = DP/DA = PR/AB
Karena DP : PA = 2 : 3, maka DA = DP + PA = 2x + 3x = 5x. Sehingga DP/DA = 2x/5x = 2/5.
Jadi, PR/AB = 2/5  (Persamaan 1)

Dari kesebangunan segitiga CRQ dan CAB, kita punya:
CR/CA = CQ/CB = RQ/AB

Kita juga tahu bahwa R terletak pada diagonal BD dan PQ. PR/RQ = 8. Maka PR = 8 RQ.

Sekarang mari kita gunakan informasi bahwa PQ sejajar DC dan AB.
Perhatikan segitiga BDC. Garis PR sejajar DC. Maka segitiga BPR sebangun dengan segitiga BDC.
BR/BD = PR/DC

Karena R terletak pada diagonal BD, maka BD = BR + RD.
Dari segitiga DRP sebangun dengan segitiga ABP, kita punya DR/RB = DP/PA = 2/3.
Jadi, DR = 2k dan RB = 3k. Maka BD = DR + RB = 2k + 3k = 5k.
Sehingga BR/BD = 3k/5k = 3/5.
Jadi, PR/DC = 3/5 (Persamaan 2)

Kita diberikan PR/RQ = 8. Maka PR = 8 RQ.

Kita memiliki PR/AB = 2/5 dan PR/DC = 3/5. Ini sepertinya ada kesalahan dalam penalaran atau soalnya, karena R adalah titik potong PQ dengan BD, sehingga R membagi PQ. PR/RQ = 8 berarti PR lebih panjang dari RQ.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan teorema intercept pada segitiga.
Dalam segitiga ABD, garis PR sejajar AB. Titik P pada AD, R pada BD.
DP/DA = PR'/AB, di mana R' adalah titik potong PQ dengan BD.
Karena DP:PA = 2:3, maka DP/DA = 2/5. Jadi PR'/AB = 2/5.

Sekarang perhatikan segitiga BCD. Garis RQ sejajar DC. Titik Q pada BC, R pada BD.
BQ/BC = RQ/DC.

Kita tahu PQ sejajar AB dan DC. Titik R membagi PQ sehingga PR/RQ = 8.
Karena PQ sejajar AB dan DC, maka trapesium APQB sebangun dengan trapesium DPRC (tidak benar).

Mari kita gunakan sifat garis sejajar yang memotong transversal.
Karena PQ sejajar DC dan AB, maka pada transversal BD:
Segitiga DRP sebangun dengan segitiga BAP. Ini salah karena P bukan titik tengah AD.

Mari kita gunakan teorema Thales (garis-garis sejajar memotong segmen garis).
Misalkan vektor $\vec{D}$ adalah titik pangkal.
$\{\vec{A}\} = \vec{D} + \vec{DA}$\n$\{\vec{B}\} = \vec{D} + \vec{DB}$\n$\{\vec{C}\} = \vec{D} + \vec{DC}$\nKarena AB sejajar DC, maka $\vec{AB} = k \vec{DC}$ untuk suatu skalar k. Kita cari nilai k = AB/DC.

P terletak pada AD sehingga DP : PA = 2 : 3. Maka $\vec{DP} = \frac{2}{5} \vec{DA}$. $\vec{P} = \vec{D} + \frac{2}{5} \vec{DA}$.

Q terletak pada BC. R terletak pada BD. R juga terletak pada PQ.
Karena PQ sejajar DC, maka $\vec{PR} = m \vec{DC}$ untuk suatu skalar m.
Karena R terletak pada BD, maka $\vec{R} = (1-t) \vec{D} + t \vec{B}$ untuk suatu skalar t.
Karena R terletak pada PQ, maka $\vec{R} = (1-s) \vec{P} + s \vec{Q}$ untuk suatu skalar s.

$\{\vec{R}\} = \vec{D} + t (\vec{B} - \vec{D}) = \vec{D} + t (\vec{DB})$.
$\{\vec{P}\} = \vec{D} + \frac{2}{5} (\vec{A} - \vec{D}) = \vec{D} + \frac{2}{5} \vec{DA}$.

Karena R terletak pada PQ dan PR/RQ = 8, maka $\vec{R} = \frac{1}{9} \vec{P} + \frac{8}{9} \vec{Q}$. Ini jika R membagi PQ dengan rasio 1:8. Jika PR/RQ = 8, maka R lebih dekat ke Q. R = (1*Q + 8*P)/(1+8). $\vec{R} = \frac{1}{9} \vec{Q} + \frac{8}{9} \vec{P}$.

Karena PQ sejajar DC, $\vec{Q} - \vec{P} = \lambda \vec{DC}$ untuk suatu skalar $\lambda$. 

Mari kita gunakan perbandingan pada diagonal.
Dalam segitiga ABD, garis PR sejajar AB. Titik P pada AD, R pada BD. Perbandingan DP/DA = 2/5. Maka $\frac{DR}{DB} = \frac{DP}{DA} = \frac{2}{5}$.
Ini berarti $DR = \frac{2}{5} DB$. Maka $RB = DB - DR = DB - \frac{2}{5} DB = \frac{3}{5} DB$.
Jadi $DR/RB = (2/5 DB) / (3/5 DB) = 2/3$.

Sekarang perhatikan segitiga BCD. Garis RQ sejajar DC. Titik R pada BD, Q pada BC.
Karena R pada BD, maka BR/BD = 3/5. 
Oleh karena itu, $BQ/BC = BR/BD = 3/5$. Dan $RQ/DC = BR/BD = 3/5$.

Kita diberikan PR/RQ = 8.
Maka $PR = 8 RQ$.
Kita punya $RQ = \frac{3}{5} DC$.
Sehingga $PR = 8 \times \frac{3}{5} DC = \frac{24}{5} DC$.

Sekarang kita hubungkan PR dengan AB. 
Karena PQ sejajar AB, maka segitiga PRD sebangun dengan segitiga ABD. Ini salah.

Karena PQ sejajar AB, maka segitiga RPB sebangun dengan segitiga RDB. Ini benar.
RP/RD = RB/RB = 1. Ini salah.

Karena PQ sejajar AB, maka segitiga PRD tidak sebangun dengan segitiga ABD.

Mari kita gunakan perbandingan pada PQ.
Misalkan titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD.

Kita punya $DR/RB = 2/3$. Maka $DR = \frac{2}{5} BD$ dan $RB = \frac{3}{5} BD$.

Karena PQ sejajar AB, maka segitiga CRP sebangun dengan segitiga CAB. Ini salah.

Karena PQ sejajar AB, maka segitiga DRP sebangun dengan segitiga DAB. Ini salah.

Karena PQ sejajar AB, maka segitiga PRD sebangun dengan segitiga ABD jika P sejajar dengan A. Tidak.

Mari kita gunakan teorema tambahan.
Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sejajar pada sebuah trapesium dan memotong kedua sisi yang tidak sejajar serta kedua diagonalnya, maka panjang segmen garis tersebut di antara kedua diagonal adalah rata-rata harmonik dari panjang sisi-sisi sejajar.

Misalkan panjang PQ = x.
Panjang segmen PQ antara diagonal AC dan BD adalah $\frac{2 AB \cdot DC}{AB + DC}$.
R adalah titik potong PQ dengan BD.
PR/RQ = 8.

Kita tahu dari segitiga BCD dan garis RQ sejajar DC, bahwa $RQ = \frac{BR}{BD} DC$. Karena $DR/RB = 2/3$, maka $BR/BD = 3/5$. Jadi $RQ = \frac{3}{5} DC$.

Kita tahu dari segitiga ABD dan garis PR sejajar AB, bahwa $PR = \frac{DR}{DB} AB$. Karena $DR/RB = 2/3$, maka $DR/DB = 2/5$. Jadi $PR = \frac{2}{5} AB$.

Kita diberikan $PR/RQ = 8$.
$\{\frac{2}{5} AB\} / \{\frac{3}{5} DC\} = 8$
$\{\frac{2 AB}{3 DC}\} = 8$
$2 AB = 24 DC$
$AB = 12 DC$
$AB/DC = 12$.

Periksa kembali:
Jika AB/DC = 12.
PR = (2/5) AB = (2/5) * 12 DC = 24/5 DC.
RQ = (3/5) DC.
PR/RQ = (24/5 DC) / (3/5 DC) = 24/3 = 8. Ini cocok.

Jadi, AB/DC = 12.

Jawaban: AB/DC = 12.

Metadata:
Grades: 10, 11, 12 (Matematika SMA)
Chapters: Geometri
Topics: Trapezium, Kesebangunan
Sections: Sifat-sifat Trapezium, Teorema Thales