Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret

Rumus deretnya adalah [n(n+1)/2]^2.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus deret 1+8+27+64+125+...+n^3 menggunakan induksi matematika, kita perlu menunjukkan dua hal:

1. **Basis Induksi:** Rumus tersebut benar untuk kasus pertama (n=1).
   Untuk n=1, sisi kiri adalah 1^3 = 1. Sisi kanan adalah [1(1+1)/2]^2 = [1(2)/2]^2 = 1^2 = 1. Jadi, rumus tersebut benar untuk n=1.

2. **Langkah Induksi:** Jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1.
   Asumsikan bahwa 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = [k(k+1)/2]^2 benar.
   Kita perlu menunjukkan bahwa 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = [(k+1)(k+2)/2]^2.
   
   Dari asumsi, kita punya:
   [k(k+1)/2]^2 + (k+1)^3
   = k^2(k+1)^2 / 4 + (k+1)^3
   = (k+1)^2 [k^2/4 + (k+1)]
   = (k+1)^2 [k^2 + 4k + 4] / 4
   = (k+1)^2 (k+2)^2 / 4
   = [(k+1)(k+2)/2]^2
   
   Ini sesuai dengan rumus untuk n=k+1. Oleh karena itu, dengan induksi matematika, rumus deret 1+8+27+64+125+...+n^3 adalah [n(n+1)/2]^2.

Jawaban ringkas: [n(n+1)/2]^2