Dengan menggunakan metode selidik, tentukan nilai maksimum

Maksimum: 150 di (5,0), Minimum: 40 di (0,4)

Pembahasan

Kita akan menggunakan metode selidik (grafik) untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif f = 30x + 10y dengan kendala:
1. x + y >= 4
2. 6x + 4y <= 36  (atau 3x + 2y <= 18)
3. 2x + y <= 10
4. x >= 0
5. y >= 0

Langkah 1: Menggambar garis kendala.
Kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mencari titik-titik potong sumbu.
1. x + y = 4
   Jika x=0, y=4 -> (0, 4)
   Jika y=0, x=4 -> (4, 0)

2. 3x + 2y = 18
   Jika x=0, 2y=18, y=9 -> (0, 9)
   Jika y=0, 3x=18, x=6 -> (6, 0)

3. 2x + y = 10
   Jika x=0, y=10 -> (0, 10)
   Jika y=0, 2x=10, x=5 -> (5, 0)

Kendala x >= 0 dan y >= 0 berarti kita berada di kuadran I.

Langkah 2: Menentukan daerah penyelesaian (feasible region).
Kita uji satu titik (misalnya (0,0)) untuk setiap pertidaksamaan:
1. x + y >= 4: 0 + 0 >= 4 (Salah). Daerah penyelesaian di atas garis x+y=4.
2. 3x + 2y <= 18: 0 + 0 <= 18 (Benar). Daerah penyelesaian di bawah garis 3x+2y=18.
3. 2x + y <= 10: 0 + 0 <= 10 (Benar). Daerah penyelesaian di bawah garis 2x+y=10.

Daerah penyelesaian adalah area yang memenuhi semua kendala, yaitu daerah yang dibatasi oleh titik-titik potong dari garis-garis kendala di kuadran I.

Langkah 3: Mencari titik-titik sudut (vertices) daerah penyelesaian.
Titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis kendala.

Titik A: Perpotongan x+y=4 dan 2x+y=10.
   (2x+y) - (x+y) = 10 - 4
   x = 6
   Substitusi x=6 ke x+y=4 -> 6+y=4 -> y=-2. Titik (6,-2) tidak memenuhi x>=0, y>=0. Sepertinya ada kesalahan dalam menentukan titik potong yang relevan.

Mari kita gambar ulang dan identifikasi titik-titik sudut yang relevan dengan kendala x>=0, y>=0.

Garis 1: x+y=4.
Garis 2: 3x+2y=18.
Garis 3: 2x+y=10.

Titik Potong 1 & 3: x+y=4 dan 2x+y=10.
   Kurangkan: (2x+y) - (x+y) = 10 - 4 => x = 6.
   Substitusi x=6 ke x+y=4 => 6+y=4 => y = -2. Titik (6,-2) di luar kuadran I.

Titik Potong 2 & 3: 3x+2y=18 dan 2x+y=10.
   Kalikan persamaan kedua dengan 2: 4x+2y=20.
   Kurangkan persamaan kedua dari yang pertama: (4x+2y) - (3x+2y) = 20 - 18 => x = 2.
   Substitusi x=2 ke 2x+y=10 => 2(2)+y=10 => 4+y=10 => y = 6. Titik P1 = (2, 6).
   Periksa kendala lain: x+y = 2+6 = 8 >= 4 (Benar). 3x+2y = 3(2)+2(6) = 6+12 = 18 <= 18 (Benar). 2x+y = 2(2)+6 = 4+6 = 10 <= 10 (Benar). x>=0, y>=0 (Benar).

Titik Potong 1 & 2: x+y=4 dan 3x+2y=18.
   Kalikan persamaan pertama dengan 2: 2x+2y=8.
   Kurangkan dari persamaan kedua: (3x+2y) - (2x+2y) = 18 - 8 => x = 10.
   Substitusi x=10 ke x+y=4 => 10+y=4 => y = -6. Titik (10,-6) di luar kuadran I.

Perlu dicari titik potong dengan sumbu x dan y yang membentuk daerah feasible.
Daerah layak dibatasi oleh: x=0, y=0, x+y=4, 3x+2y=18, 2x+y=10.

Titik Potong sumbu y (x=0):
   Dari x+y=4 -> (0, 4).
   Dari 3x+2y=18 -> (0, 9).
   Dari 2x+y=10 -> (0, 10).
   Titik yang relevan dengan kendala y>=0 dan batas atas dari kendala 2 dan 3 adalah titik (0, 4) (karena 0+4=4>=4, 3(0)+2(4)=8<=18, 2(0)+4=4<=10).

Titik Potong sumbu x (y=0):
   Dari x+y=4 -> (4, 0).
   Dari 3x+2y=18 -> (6, 0).
   Dari 2x+y=10 -> (5, 0).
   Titik yang relevan dengan kendala x>=0 dan batas atas dari kendala 2 dan 3 adalah titik (4, 0) (karena 4+0=4>=4, 3(4)+2(0)=12<=18, 2(4)+0=8<=10).

Jadi, titik-titik sudut yang mungkin adalah:
P1 = (2, 6)
P2 = (4, 0) (Perpotongan x+y=4 dan y=0)
P3 = (5, 0) (Perpotongan 2x+y=10 dan y=0, tapi kendala x+y>=4 membatasi ini. Titik (4,0) adalah batas terluar untuk kendala 1 dan 2x+y<=10 pada sumbu x).
P4 = (0, 4) (Perpotongan x+y=4 dan x=0)

Periksa ulang daerah layak:
 kendala 1: x+y>=4. Garis memotong (0,4) dan (4,0). Daerah di atas.
kendala 2: 3x+2y<=18. Garis memotong (0,9) dan (6,0). Daerah di bawah.
kendala 3: 2x+y<=10. Garis memotong (0,10) dan (5,0). Daerah di bawah.

Titik-titik sudut yang membentuk daerah layak:
1. Titik potong 2x+y=10 dan x+y=4:
x=6, y=-2 (Tidak valid)

Mari kita cari titik potong antara 2x+y=10 dan 3x+2y=18. Ini adalah P1=(2,6).

Sekarang kita perlu titik potong antara x+y=4 dan 2x+y=10.
Kurangi persamaan pertama dari kedua: (2x+y)-(x+y)=10-4 => x=6. Substitusi ke x+y=4 => 6+y=4 => y=-2. Titik (6,-2) tidak valid.

Mari kita periksa titik-titik yang memenuhi semua kendala.

Perpotongan 1 (x+y=4) dan sumbu x (y=0): (4,0).
   Cek kendala lain: 3(4)+2(0)=12<=18 (Benar). 2(4)+0=8<=10 (Benar). Ini adalah titik sudut. P2 = (4, 0).

Perpotongan 3 (2x+y=10) dan sumbu y (x=0): (0,10).
   Cek kendala lain: 0+10=10>=4 (Benar). 3(0)+2(10)=20<=18 (Salah). Titik (0,10) tidak valid.

Perpotongan 1 (x+y=4) dan sumbu y (x=0): (0,4).
   Cek kendala lain: 3(0)+2(4)=8<=18 (Benar). 2(0)+4=4<=10 (Benar). Ini adalah titik sudut. P3 = (0, 4).

Perpotongan 3 (2x+y=10) dan sumbu x (y=0): (5,0).
   Cek kendala lain: 5+0=5>=4 (Benar). 3(5)+2(0)=15<=18 (Benar). Ini adalah titik sudut. P4 = (5, 0).

Perpotongan 2 (3x+2y=18) dan sumbu y (x=0): (0,9).
   Cek kendala lain: 0+9=9>=4 (Benar). 2(0)+9=9<=10 (Benar). Ini adalah titik sudut. P5 = (0, 9).

Perpotongan 2 (3x+2y=18) dan sumbu x (y=0): (6,0).
   Cek kendala lain: 6+0=6>=4 (Benar). 2(6)+0=12<=10 (Salah). Titik (6,0) tidak valid.

Sekarang kita punya titik-titik sudut potensial: P1=(2,6), P2=(4,0), P3=(0,4), P4=(5,0), P5=(0,9).
Kita perlu memastikan daerah yang dibatasi oleh x+y>=4, 3x+2y<=18, 2x+y<=10, x>=0, y>=0.

Titik P1=(2,6): Terpenuhi semua kendala.
Titik P2=(4,0): Terpenuhi semua kendala.
Titik P3=(0,4): Terpenuhi semua kendala.
Titik P4=(5,0): Terpenuhi semua kendala.
Titik P5=(0,9): Terpenuhi semua kendala.

Daerah penyelesaiannya adalah poligon dengan titik sudut: (4,0), (5,0), (2,6), (0,4).

Titik sudut yang perlu diuji:
1. (4, 0): f = 30(4) + 10(0) = 120.
2. (5, 0): f = 30(5) + 10(0) = 150.
3. (2, 6): f = 30(2) + 10(6) = 60 + 60 = 120.
4. (0, 4): f = 30(0) + 10(4) = 40.

Nilai maksimum adalah 150 pada titik (5,0).
Nilai minimum adalah 40 pada titik (0,4).

Jawaban Ringkas:
Nilai maksimum: 150 pada (5,0).
Nilai minimum: 40 pada (0,4).