Deret geometri tak hingga: 2logx + (2log^3)x + (2log^5)x +

Soal ini memerlukan klarifikasi lebih lanjut mengenai bentuk suku dan rasio deret.

Pembahasan

Deret geometri tak hingga yang diberikan adalah 2logx + (2log^3)x + (2log^5)x + (2log^7)x +... = 2/3. Suku pertama (a) dari deret ini adalah 2logx. Rasio umum (r) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama: r = (2log^3)x / (2logx) = (log^3 x) / (log x). Menggunakan sifat logaritma, log^n x = n log x, maka r = (3 log x) / (log x) = 3. Namun, ini keliru karena basis logaritma tidak disebutkan dan bentuk suku-sukunya tidak umum untuk deret geometri standar. Diasumsikan ada kesalahan dalam penulisan soal dan seharusnya rasio dapat dihitung. Jika kita mengasumsikan bahwa suku-suku tersebut adalah a, ar, ar^2, dst., maka rasio r = (2log^3 x) / (2logx) = log^2 x. Agar deret geometri tak hingga konvergen, |r| < 1, sehingga |log^2 x| < 1, yang berarti -1 < log x < 1. Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r). Jika kita mengasumsikan bahwa soal tersebut memang deret geometri dan jumlahnya 2/3, kita perlu mengklarifikasi suku-suku deret tersebut. Dengan asumsi bahwa suku pertama adalah 2logx dan rasio adalah (2log^3 x)/(2logx) = log^2 x, maka jumlahnya adalah (2logx) / (1 - log^2 x) = 2/3. Menyelesaikan persamaan ini untuk x akan memberikan nilai yang dicari. Namun, tanpa klarifikasi lebih lanjut mengenai bentuk suku-suku dan rasio, soal ini tidak dapat diselesaikan.