Determine the coefficient of a^4 b^7 in expansion of

Koefisien dari $a^4 b^7$ adalah 30.

Pembahasan

Untuk menentukan koefisien dari $a^4 b^7$ dalam ekspansi $(2a-b)(a+b)^{10}$, kita perlu menggunakan Teorema Binomial. Pertama, kita ekspansi $(a+b)^{10}$:

$$(a+b)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} b^k$$

Selanjutnya, kita kalikan hasil ekspansi ini dengan $(2a-b)$:

$$(2a-b)(a+b)^{10} = (2a-b) \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} b^k$$

Kita mencari suku di mana total pangkat $a$ adalah 4 dan total pangkat $b$ adalah 7.

Ada dua kemungkinan kombinasi dari $(2a-b)$ dan suku dalam ekspansi $(a+b)^{10}$: 

1. Suku dari $2a$ dikalikan dengan suku yang mengandung $a^3 b^7$ dari $(a+b)^{10}$.
2. Suku dari $-b$ dikalikan dengan suku yang mengandung $a^4 b^6$ dari $(a+b)^{10}$.

Untuk kasus pertama, kita perlu suku $a^3 b^7$ dari $(a+b)^{10}$. Dalam ekspansi $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} b^k$, kita perlu $10-k = 3$ dan $k=7$. Ini memberikan koefisien $\binom{10}{7}$.

Koefisien suku ini adalah $2a \times \binom{10}{7} a^3 b^7 = 2 \binom{10}{7} a^4 b^7$.

Untuk kasus kedua, kita perlu suku $a^4 b^6$ dari $(a+b)^{10}$. Dalam ekspansi $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} a^{10-k} b^k$, kita perlu $10-k = 4$ dan $k=6$. Ini memberikan koefisien $\binom{10}{6}$.

Koefisien suku ini adalah $-b \times \binom{10}{6} a^4 b^6 = -\binom{10}{6} a^4 b^7$.

Sekarang kita hitung nilai binomialnya:

$\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 	imes 7}{4 	imes 3 	imes 2 	imes 1} = 10 	imes 3 	imes 7 = 210$

Jumlahkan koefisien dari kedua kasus:

Koefisien total = $2 \times \binom{10}{7} - \binom{10}{6}$

Koefisien total = $2 \times 120 - 210$

Koefisien total = $240 - 210$

Koefisien total = $30$

Jadi, koefisien dari $a^4 b^7$ dalam ekspansi $(2a-b)(a+b)^{10}$ adalah 30.