Sebuah toko menyediakan dua jenis pupuk, yaitu biasa dan

6 sak pupuk biasa dan 0 sak pupuk premium

Pembahasan

Untuk menentukan berapa sak masing-masing jenis pupuk yang harus dibeli agar total harga mencapai minimum dan kebutuhan pupuk terpenuhi, kita dapat menggunakan program linear.

Misalkan:
x = jumlah sak pupuk biasa
y = jumlah sak pupuk premium

Fungsi tujuan (yang ingin diminimalkan) adalah total harga:
Minimumkan Z = 45000x + 90000y

Kendala yang harus dipenuhi adalah kebutuhan nitrogen dan fosfat:
1. Kebutuhan Nitrogen: 2x + 4y >= 16
2. Kebutuhan Fosfat: 4x + 3y >= 24
3. Jumlah sak tidak boleh negatif: x >= 0, y >= 0

Kita dapat menyederhanakan kendala pertama dengan membagi 2:
x + 2y >= 8

Sekarang kita cari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala dengan menggambar grafiknya atau dengan metode substitusi/eliminasi.

Titik potong kendala:
Dari x + 2y = 8 => x = 8 - 2y
Substitusikan ke 4x + 3y = 24:
4(8 - 2y) + 3y = 24
32 - 8y + 3y = 24
32 - 5y = 24
5y = 32 - 24
5y = 8
y = 8/5

Sekarang cari x:
x = 8 - 2(8/5) = 8 - 16/5 = (40 - 16) / 5 = 24/5
Jadi, titik potongnya adalah (24/5, 8/5) atau (4.8, 1.6).

Titik potong sumbu x (y=0):
Dari x + 2y = 8 => x = 8. Titik (8, 0).
Dari 4x + 3y = 24 => 4x = 24 => x = 6. Titik (6, 0).

Titik potong sumbu y (x=0):
Dari x + 2y = 8 => 2y = 8 => y = 4. Titik (0, 4).
Dari 4x + 3y = 24 => 3y = 24 => y = 8. Titik (0, 8).

Titik-titik pojok yang relevan adalah:
- Titik potong kendala: (4.8, 1.6)
- Titik pada sumbu x yang memenuhi kedua kendala: (6, 0)
- Titik pada sumbu y yang memenuhi kedua kendala: (0, 8)

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan Z = 45000x + 90000y di setiap titik pojok:
- Di (4.8, 1.6): Z = 45000(4.8) + 90000(1.6) = 216000 + 144000 = 360000
- Di (6, 0): Z = 45000(6) + 90000(0) = 270000
- Di (0, 8): Z = 45000(0) + 90000(8) = 720000

Nilai minimum tercapai pada titik (6, 0).

Jadi, petani harus membeli 6 sak pupuk biasa dan 0 sak pupuk premium untuk mencapai harga minimum dengan kebutuhan pupuk terpenuhi.