Di bawah ini yang pasti bukan faktor rasional dari

3/2

Pembahasan

Untuk menentukan faktor rasional dari suatu polinomial seperti 2x⁴ - 3x³ - 17x² + 27x - 9, kita perlu menguji kemungkinan akar rasional menggunakan Teorema Faktor Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki akar rasional p/q (dalam bentuk paling sederhana), maka p haruslah faktor dari konstanta suku terakhir (-9) dan q haruslah faktor dari koefisien utama (2).

Faktor dari -9 (p) adalah ±1, ±3, ±9.
Faktor dari 2 (q) adalah ±1, ±2.

Kemungkinan akar rasional (p/q) adalah ±1, ±3, ±9, ±1/2, ±3/2, ±9/2.

Selanjutnya, kita uji setiap kemungkinan ini ke dalam polinomial. Jika P(x) = 2x⁴ - 3x³ - 17x² + 27x - 9:

*   P(1) = 2(1)⁴ - 3(1)³ - 17(1)² + 27(1) - 9 = 2 - 3 - 17 + 27 - 9 = 0. Jadi, (x-1) adalah faktor.
*   P(-3) = 2(-3)⁴ - 3(-3)³ - 17(-3)² + 27(-3) - 9 = 2(81) - 3(-27) - 17(9) - 81 - 9 = 162 + 81 - 153 - 81 - 9 = 0. Jadi, (x+3) adalah faktor.
*   P(3/2) = 2(3/2)⁴ - 3(3/2)³ - 17(3/2)² + 27(3/2) - 9 = 2(81/16) - 3(27/8) - 17(9/4) + 81/2 - 9 = 81/8 - 81/8 - 153/4 + 162/4 - 36/4 = (162 - 153 - 36)/4 = -27/4 ≠ 0. Jadi, (x - 3/2) atau (2x - 3) bukan faktor.
*   P(-1/2) = 2(-1/2)⁴ - 3(-1/2)³ - 17(-1/2)² + 27(-1/2) - 9 = 2(1/16) - 3(-1/8) - 17(1/4) - 27/2 - 9 = 1/8 + 3/8 - 17/4 - 27/2 - 9 = 4/8 - 34/8 - 108/8 - 72/8 = (4 - 34 - 108 - 72)/8 = -210/8 ≠ 0. Jadi, (x + 1/2) atau (2x + 1) bukan faktor.
*   P(1/2) = 2(1/2)⁴ - 3(1/2)³ - 17(1/2)² + 27(1/2) - 9 = 2(1/16) - 3(1/8) - 17(1/4) + 27/2 - 9 = 1/8 - 3/8 - 17/4 + 27/2 - 9 = -2/8 - 34/8 + 108/8 - 72/8 = (-2 - 34 + 108 - 72)/8 = 0. Jadi, (x - 1/2) atau (2x - 1) adalah faktor.
*   P(-3/2) = 2(-3/2)⁴ - 3(-3/2)³ - 17(-3/2)² + 27(-3/2) - 9 = 2(81/16) - 3(-27/8) - 17(9/4) - 81/2 - 9 = 81/8 + 81/8 - 153/4 - 81/2 - 9 = 162/8 - 306/8 - 324/8 - 72/8 = (162 - 306 - 324 - 72)/8 = -540/8 ≠ 0. Jadi, (x + 3/2) atau (2x + 3) bukan faktor.

Karena kita sudah menemukan tiga faktor (x-1), (x+3), dan (2x-1), kita bisa mencari faktor yang tersisa. Polinomial aslinya adalah derajat 4. Dengan membagi polinomial asli dengan faktor-faktor yang diketahui, kita dapat menemukan faktor yang tersisa.

(2x⁴ - 3x³ - 17x² + 27x - 9) / ((x-1)(x+3)(2x-1)) = (2x⁴ - 3x³ - 17x² + 27x - 9) / (2x³ + 5x² - 5x - 3)
Setelah melakukan pembagian polinomial, hasilnya adalah (x-3).

Jadi, faktor-faktor rasionalnya adalah (x-1), (x+3), (2x-1), dan (x-3).

Dari analisis di atas, kita melihat bahwa 3/2 adalah akar yang tidak menghasilkan nilai 0 ketika disubstitusikan ke dalam polinomial. Oleh karena itu, yang pasti bukan faktor rasionalnya adalah 3/2.