Diberikan fungsi-fungsi f(x)=akar((x-2)(x+5)^4) dan

Daerah asal fungsi (fg)(x) adalah [2, 6].

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = √((x-2)(x+5)^4) dan g(x) = √(3x^5(6-x)^3).
Kita perlu mencari daerah asal fungsi (fg)(x) = f(x)g(x).
Agar (fg)(x) terdefinisi, kedua fungsi f(x) dan g(x) harus terdefinisi.

Untuk f(x) = √((x-2)(x+5)^4):
Syarat agar f(x) terdefinisi adalah ekspresi di dalam akar kuadrat tidak boleh negatif.
(x-2)(x+5)^4 ≥ 0
Karena (x+5)^4 selalu ≥ 0 (karena pangkatnya genap), maka kita hanya perlu memperhatikan (x-2) ≥ 0.
Ini berarti x - 2 ≥ 0, sehingga x ≥ 2.
Jadi, daerah asal f(x) adalah [2, ∞).

Untuk g(x) = √(3x^5(6-x)^3):
Syarat agar g(x) terdefinisi adalah ekspresi di dalam akar kuadrat tidak boleh negatif.
3x^5(6-x)^3 ≥ 0
Karena 3 > 0, kita perlu x^5(6-x)^3 ≥ 0.

Kita perlu mempertimbangkan tanda dari x^5 dan (6-x)^3.

Kasus 1: x^5 ≥ 0 dan (6-x)^3 ≥ 0
x^5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
(6-x)^3 ≥ 0 ⇒ 6-x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6
Jadi, dalam kasus ini, 0 ≤ x ≤ 6.

Kasus 2: x^5 ≤ 0 dan (6-x)^3 ≤ 0
x^5 ≤ 0 ⇒ x ≤ 0
(6-x)^3 ≤ 0 ⇒ 6-x ≤ 0 ⇒ x ≥ 6
Tidak ada nilai x yang memenuhi kedua kondisi ini secara bersamaan.

Jadi, agar g(x) terdefinisi, kita memerlukan 0 ≤ x ≤ 6.
Daerah asal g(x) adalah [0, 6].

Untuk fungsi (fg)(x) agar terdefinisi, x harus berada dalam daerah asal f(x) DAN daerah asal g(x).
Daerah asal f(x) adalah [2, ∞).
Daerah asal g(x) adalah [0, 6].

Irisan dari kedua daerah asal tersebut adalah [2, 6].

Jadi, daerah asal fungsi (fg)(x) adalah [2, 6].